Problèmes faiblement bien posés : discrétisation et applications.

In this thesis we consider the numerical approximation of weakly well-posed problems by finite difference schemes. We define new concepts which take into account the loss of regularity coming from the weak well-posedness, and we extend the Lax-Richtmyer theorem. Using perturbation theory and Puiseux expansion, we compute the convergence factor of the classical schemes. We give numerical evidences for our results. In a second part we are interested in a special class of weakly well-posed problems: the perfectly matched layers designed by Berenger. We give new energy estimates for the Maxwell system and the associated Yee scheme. We finally study the asymptotic behavior in time of the model using geometric optics.Dans cette thèse, nous nous intéressons à la discrétisation par des schémas aux différences finies de problèmes faiblement bien posés. Nous donnons de nouvelles définitions qui prennent en compte la perte de régularité apparaissant dans les problèmes faiblement bien posés et nous étendons la condition nécessaire et suffisante de convergence de Lax-Richtmyer. En utilisant la théorie des perturbations et le développement en série de Puiseux, nous calculons le taux de convergence des schémas faisant partie d'une certaine classe. Nous illustrons numériquement nos résultats. Dans un deuxième temps, nous nous intéressons à un cas particulier de problèmes faiblement bien posés: les couches parfaitement adaptées de Bérenger ou PML. Nous donnons des estimations d'énergie pour les équations de Maxwell que nous étendons au schéma de Yee. Enfin, nous étudions le comportement asymptotique en temps de la solution d'une équation PML en utilisant l'approximation de l'optique géométrique