Modèles mathématiques pour les gaz quantiques

In this dissertation, we study various models for quantum fluids, especially kinetic models, and how they are related. In the first part, we study boson gas. We first focus on a boson fluid with a quantum part modeled by two coupled equations: a quantum Boltzmann equation for the normal part and a Gross-Pitaevskii equation for the condensate. We formally derive the hydrodynamic limit of this system in the hyperbolic scaling and then perform the semi-classical limit; we get a compressible Euler-like system of two coupled fluids. We then study the limit system using the isentropic approximation: hyperbolicity, weak solutions, shocks, numerical simulation of shocks. Afterwards we study a Boltzmann-type space-homogeneous model for bosons in one dimension. We prove existence of solutions and then convergence in the grazing collision limit (and in a very weak sense) towards solutions of a quantum Fokker-Planck equation. In the second part, we focus on the Boltzmann equation for fermions. We prove the existence of solutions in a bounded domain satisfying the local conservation of mass, momentum and kinetic energy. We then rigorously derive the hydrodynamic limit in the incompressible Euler scaling using the relative entropy method together with filtering techniques.Cette thèse est consacrée à l'étude de différents modèles de fluides quantiques, en particulier des modèles cinétiques, et aux liens entre ces modèles. La première partie est dédiée aux gaz de bosons. Nous nous intéressons d'abord à un fluide de bosons ayant une partie condensée, modélisé par deux équations couplées : une équation de Boltzmann quantique pour la partie normale, et une équation de Gross-Pitaevskii pour la partie condensée. Nous étudions formellement la limite hydrodynamique de ce système dans le scaling hyperbolique, couplée avec une limite semi-classique, et obtenons un système du type Euler compressible à deux fluides. Nous étudions le système limite dans l'approximation isentropique : hyperbolicité, solutions faibles, chocs, simulation numérique des chocs. Nous nous intéressons dans un deuxième temps à un modèle de type Boltzmann pour les bosons unidimensionnel et homogène en espace. Après avoir prouvé l'existence de solutions, nous montrons qu'elles convergent dans la limite des collisions rasantes (et dans un sens très faible) vers des solutions d'une équation de Fokker-Planck quantique. La deuxième partie est centrée sur l'équation de Boltzmann pour les fermions. Nous montrons un résultat d'existence de solutions vérifiant la conservation locale de la masse, du moment et de l'énergie cinétique dans un domaine à bord. Nous prouvons ensuite un résultat rigoureux de limite hydrodynamique dans le scaling Euler incompressible à l'aide de la méthode de l'entropie relative couplée à des techniques de filtrage des ondes acoustiques