Approche asymptotique pour l'étude mathématique et la simulation numérique de la propagation du son en présence d'un écoulement fortement cisaillé

This thesis deals with the modelling and the numerical simulation of acoustic propagation in a flow. The aim of this work is to derive approximate models that easily take into account thin shear layers of the reference flow (boundary layer, mixing shear layer...). The model retained for these studies is the Galbrun's equation. The first part is devoted to the study of the acoustic propagation in a thin bidimensional duct. By an asymptotic analysis, which can be seen as a low frequency approach, we derive an approximate model. It has a non-local integral term in the transverse coordinate. Because of its non-standard structure, the stability analysis is difficult and an ad hoc analysis is needed. Using this original approach we find well-known results of hydrodynamic instabilities in laminar flows (in the incompressible case), but we also get some new results. We finally give a numerical method based on a quasi-explicit expression of the solution. The second part focuses on the consideration of boundary layers. We consider a bidimensional problem with a flat wall. The cases of a rigid wall and of an impedant wall are investigated. In both cases, using an asymptotic analyis, we replace the boundary layer by an approximate limit condition. These two generalized impedance conditions involve the resolution of the limit equation of the thin duct, and their stability analysis relie on the results obtained in the first part. Then, we explore the physical and mathematical properties of these approximate problems.Cette thèse s'inscrit dans le cadre d'étude de la simulation de la propagation du son en écoulement. L'objectif de ces travaux est l'obtention de modèles approchés permettant une prise en compte aisée des zones de fortes variations de l'écoulement porteur (couche limite de paroi, couche de mélange...). Le modèle mathématique retenu pour l'étude est celui des équations de Galbrun. La première partie est consacrée à la propagation acoustique dans un tuyau mince bidimensionnel. Une analyse asymptotique qui s'apparente à une analyse basse fréquence est menée pour obtenir un problème approché original, faisant intervenir un terme intégral non local vis à vis de la coordonnée transverse. Du fait de son originalité, l'analyse de stabilité est complexe et nécessite une étude ad hoc. Cette approche nouvelle permet de retrouver des résultats sur la stabilité des écoulements incompressible, mais aussi d'en établir de nouveaux. Nous proposons ensuite une méthode de résolution numérique basée sur une expression quasi-explicite de la solution. La question de la prise en compte des couches limites de paroi fait l'objet de la deuxième partie. Nous considérons toujours un problème bidimensionnel à paroi plane. Les cas d'une paroi parfaitement rigide et d'une paroi sur laquelle on impose une condition d'impédance sont traités. Dans les deux cas nous remplaçons la couche limite par une condition aux limites approchée, au moyen d'une analyse asymptotique. Ces conditions font intervenir la résolution du problème limite du tube et l'analyse de stabilité repose sur les résultats de la première partie. Nous explorons ensuite les propriétés physiques et mathématiques de ces problèmes approchés