Existence en temps grand et croissance des normes Sobolev pour des solutions d'équations de Klein-Gordon semi-linéaires et de Schrödinger linéaires sur certaines variétés

In recent years, several authors proved long time existence results for solutions of non-linear Klein-Gordon equation on some compact manifolds, like spheres, when the initial data are smooth and small enough, and when some mass parameter avoids a subset of zero measure of the real line. One of the fundamental assumptions in these works is a separation property of the eigenvalues of the laplacian on the manifolds under consideration. The goal of the first two papers of this thesis is to examine which results may be obtained when such a separation assumption does not hold. We study two cases: a Klein-Gordon operator associated to the harmonic oscillator on the Euclidean space, and the usual Klein-Gordon operator on the torus. We get, using normal forms methods, solutions existing over longer time intervals than the ones given by the local theory. The last paper of the thesis concerns long time estimates for Sobolev norms of solutions of a linear Schrödinger equation on the torus, with time dependent potential. We prove logarithmic bounds, when the potential is in the Gevrey class, extending results of Bourgain and Wang.Au cours des années récentes, plusieurs auteurs ont prouvé des résultats d'existence en temps grand pour des solutions d'équations de Klein-Gordon non-linéaires sur certaines variétés compactes, telles les sphères, lorsque les données initiales sont assez régulières et assez petites, et qu'un certain paramètre de masse évite un sous-ensemble de mesure nulle de la droite réelle. L'une des hypothèses fondamentales dans ces travaux est une propriété de séparation des valeurs propres du laplacien sur les variétés considérées. L'objet des deux premiers articles constituant cette thèse est d'examiner quels résultats peuvent être obtenus lorsqu'une telle hypothèse de séparation n'est plus vérifiée. Nous étudions le cas d'un opérateur de Klein-Gordon associé à l'oscillateur harmonique sur l'espace euclidien, et celui de l'opérateur de Klein-Gordon usuel sur le tore. Nous obtenons, par des méthodes de formes normales, des solutions existant sur des intervalles plus longs que ceux fournis par la théorie locale. Le dernier article de cette thèse s'intéresse au problème de l'estimation en temps grand des normes Sobolev de solutions d'une équation de Schrödinger linéaire sur le tore, à potentiel dépendant du temps. Nous prouvons des bornes logarithmiques, lorsque le potentiel est Gevrey, généralisant des résultats antérieurs de Bourgain et Wang