Etude de schemas numeriques pour des modeles de propagation d'ondes en milieux heterogenes

Least square inversion methods require wave propagation modeling by linear equations. It is in modeling that the main part of this work, which includes four chapters, has been done. In the first chapter we start with the inversion of a locally disturbed medium that is to say we look for an heterogeneity of given shape in an homogeneous matrix. We show in this simple case the influence of the source on the non-linearity of the cost function. In the second chapter we introduce and analyze a family of numerical schemes for the acoustic wave equation in homogeneous media. These schemes are of order two or four in time and of any order in space. We estimate the computational cost of modeling and advice a choice for the number of points per wavelength and points per period, which then yield the space and time steps. In the third chapter we study the stability and accuracy of this family of numerical schemes in heterogeneous media. We obtain stability results for arbitrary heterogeneous media and give the order of approximation of these schemes in heterogeneous media. We also study the sponge boundary condition. In the last chapter, we deal with a posteriori estimates for the wave equation in uni-dimensional media. These estimates can be extended to two dimensional media. They allow a measure of the error on the the solution by computable quantities which in turn provides guidance for time and space discretization in an adaptative procedure.Les methodes d'inversion par moindres carres necessitent la simulation de propagation d'ondes modelisees par des equations lineaires. C'est dans cette partie modelisation que se situe la majeure partie de notre travail qui comporte quatre chapitres. Dans le premier chapitre, nous etudions l'inversion d'un milieu localement perturbe, c'est a dire que nous recherchons une heterogeneite de forme donnee dans une matrice homogene. Nous montrons dans ce cas simple l'influence de la frequence de la source sur la non-linearite de la fonction cout. Dans le second chapitre, nous introduisons et analysons une famille de schemas numeriques pour l'equation des ondes acoustiques en milieu homogene. Ces schemas d'ordre sont deux ou quatre en temps et d'ordre quelconque en espace. Nous avons estime le cout informatique des simulations et preconise un choix du nombre de points par longueur d'onde et du nombre de points par periode. Ceci donne alors les pas d'espace et de temps. Dans le troisieme chapitre nous etudions la stabilite et la precision de cette famille de schemas numeriques en milieu heterogene. Nous obtenons des resultats quelque soit l'heterogeneite du milieu, et donnons l'ordre d'approximation de ces schemas numeriques en milieux heterogenes. Nous etudions egalement les condition absorbantes eponges. Dans le dernier chapitre nous nous sommes interesse a une estimation d'erreur a posteriori pour l'equation des ondes en milieu unidimensionnel. Ces estimations sont generalisables au cas bidimensionnel. Elles permettent de mesurer l'erreur commise sur la solution a l'aide de quantites calculables; donc on peut par procedure adaptive regler les pas de temps et d'espace