L'homogénéisation d'équations de convection-diffusion singulières et de problèmes spectraux à poids indéfini

The thesis is devoted to the homogenization of singular convection-diffusion equations and spectral problems with sign-changing density function. It consists of two parts. The first one contains both qualitative and asymptotic results for solutions of stationary and non-stationary convection-diffusion equations in bounded or unbounded domains. Among the studied problems are qualitative problem for a convection-diffusion equation in a semi-infinite cylinder, homogenization of convection-diffusion models in thin cylinders and asymptotic problems for non-stationary convection-diffusion equations with large convection term in bounded domains. The second part of the thesis deals with the homogenization of elliptic spectral problems with sign-changing density function. We show that the asymptotic behaviour of the spectrum depends crucially on whether the density average over the period is zero or not, and construct the asymptotics of the spectrum in both these cases.Le but de la thèse est d'étudier l'homogénéisation d'équations de convection-diffusion singulières et de problèmes spectraux à poids indéfini. La thèse se compose de deux parties. La première partie contient des résultats qualitatifs et asymptotiques pour les solutions d'équations de type convection-diffusion stationnaires et instationnaires, qui sont définies dans des domaines bornés ou nonbornés. Les problèmes examinés comprennent des études qualitatives pour une équation elliptique avec des termes du premier ordre dans un cylindre semi-infini, l'homogénéisation de modèles de convection-diffusion dans des cylindres minces et une analyse asymptotique d'équations de convection-diffusion instationnaires avec un grand terme du premier ordre, posées dans un domaine borné. La deuxième partie de la thèse porte sur l'homogénéisation de problèmes spectraux à poids indéfini, pouvant changer de signe. On montre que le comportement asymptotique dépend essentiellement de la moyenne du poids, notamment si la moyenne est nulle ou non nulle. On construit alors le développement asymptotique du spectre dans les deux cas