Représentations matricielles en théorie de l'élimination et applications à la géométrie

In this habilitation thesis, a matrix-based approach of elimination theory is described and illustrated through applications in algebraic modeling. This matrix-based approach allows to build a bridge between geometry and numerical linear algebra, so that some geometric problems can be given to the powerful numerical linear algebra tools. The first chapter deals with matrix-based implicit representations of rational hypersurfaces in a projective space and a new method to address the computation of the intersection locus between a rational curve and a rational surface is exposed. The second chapter contains a matrix-based implicit representation of a rational curve in a projective space of arbitrary dimension. Then, the usefulness of such a representation is illustrated with an algorithm to treat the intersection problem between two rational curves. In last chapter, a matrix-based approach to Ruppert's irreducibility criterion is given and used to improve the counting of reducible fibers in a pencil of algebraic hypersurfaces whose general member is irreducible.Ce mémoire d'habilitation présente des travaux qui développent une approche matricielle de la théorie de l'élimination et l'illustrent au travers d'applications à la modélisation géométrique. Cette approche matricielle, qui correspond essentiellement à un changement de représentation, permet de livrer des problèmes géométriques à la puissance des algorithmes d'algèbre linéaire numérique. Le premier chapitre traite de la représentation matricielle implicite d'une hypersurface rationnelle dans un espace projectif et propose une nouvelle méthode pour traiter le problème d'intersection entre une courbe et une surface rationnelles dans l'espace projectif de dimension trois. Le deuxième chapitre propose une représentation matricielle implicite d'une courbe rationnelle dans un espace projectif de dimension arbitraire, représentation qui est illustrée par un algorithme répondant au problème d'intersection entre deux courbes rationnelles. Le dernier chapitre est dédié à une approche matricielle du test d'irréductibilité de Ruppert qui conduit au raffinement du dénombrement des fibres réductibles dans un pinceau d'hypersurfaces algébriques génériquement irréductible