Statistique de l'interférence quantique et circuits quantiques aléatoires

This thesis presents different results about two topics in the field of quantum information. The first of these topics concerns the interference present in quantum algorithms, based on a measure recently introduce in the litterature. To do this, two kinds of statistical models of quantum algorithms were used. The first one, which comes from the random matrix theory, is the circular unitary ensemble (CUE) while the second one is a set of quantum circuits, built by random sequences of quantum gates. The analytical and numerical results obtained in this thesis show that {\em on average} any quantum algorithm contain a big amount of interference. The next step was to study the influence of the decoherence created by a thermal bath on the statistics of the interference. Thanks to mathematical methods of integration over the unitary group U(N), it is possible to generalise the previous analytical and numerical results to include the effect of decoherence. The second topic is about the possibility of using quantum algorithms to create efficiently random matrix ensembles. During the works on interference, an equivalence between CUE and the model of random quantum circuits was noticed. One might expect that such random quantum circuits can be used to build random matrix ensembles drawn as CUE. The numerical results of this thesis show that given CUE quantities are well reproduced by the model of random sequences in an efficient way. The efficiency means that the sequences are built with a number of gates which increases as the logarithm of the size of the produced matrices. These results are in agreement with recently published works.Cette thèse présente différents résultats sur deux thèmes relatifs à l'information quantique. Le premier de ces thèmes concerne l'interférence présente dans les algorithmes quantiques, en se basant sur une mesure récemment introduite dans la littérature. Pour ce faire, deux types de modèles statistiques d'algorithmes quantiques ont été utilisés : l'un issu de la théorie des matrices aléatoires (l'ensemble circulaire unitaire CUE), le second étant un ensemble de circuits quantiques construits comme des séquences aléatoires de portes quantiques. Les résultats analytiques et numériques obtenus dans cette thèse montrent qu'en moyenne tout algorithme quantique contient une grande quantité d'interférence. L'influence de la décohérence engendrée par un bain thermique sur le comportement statistique de l'interférence a aussi était étudiée, entre autre grâce à l'utilisation de méthodes mathématiques d'intégrations sur le groupe unitaire U(N). Le deuxième thème étudié concerne la possibilité d'utiliser des algorithmes quantiques pour créer efficacement des ensembles de matrices aléatoires distribuer selon CUE. Pendant les travaux sur l'interférence, une équivalence entre CUE et le modèle de circuits quantiques aléatoires fût observée. Les résultats numériques de cette thèse montrent que certaines quantités statistiques propres à CUE sont bien reproduites par le modèle de séquences aléatoires, ceci de manière efficace, dans le sens où les séquences sont constituées d'un nombre de portes qui augmente comme le logarithme de la taille des matrices produites. Ces résultats sont en parfait accord avec des travaux analytiques récemment publiés