Etude topologique de fonctions définissables par automates

The subject of this thesis is the study of the topological complexity of omega-rationals functions : functions of finite words which graph is recognizable by finite automaton. The universe of our study is the borelian hierarchy and Baire classes. We first note that that such function are at most of Baire class 2. Christophe Prieur has shown that the problem of the continuity is decidable. We prove that to be of class 1 is also decidable in the synchronous case : we adapt a result of Sierpinski on sub-graph. Then we focus on continuity points of such functions. A result of Baire says that a function is not of Baire class 1 if and only if there exists a closed non empty set with no continuity point of the function. We prove an automaton version of this theorem : an omega-rational function is not of Baire class 1 if and only if there exists a closed non empty set recognizable by Büchy automaton with no continuity point of the function. For this we use the Hausdorff derivation which stop in finite time on omega-rational functions. We conclude this work with the study of orbits of real functions definable in Pisot basis by synchronous tansductors. One can use the Sarkovski's order to make a classification of orders of orbits of real continuous functions. The principal result is the following : for any integer n one can decide if there exists periodic orbits of cardinality n or less in the Sarkovski's order.L'objet de cette thèse est l'étude de la complexité topologique de fonctions omega-rationnelles : fonctions de mots infinis dont le graphe est reconnaissable par automate fini. Le cadre de notre étude est celui de la hiérarchie des boréliens et des classes de Baire. On remarque tout d'abord que ces fonctions sont au plus de classe 2. Christophe Prieur a montré que le problème de la continuité est décidable. Nous avons montré qu'être de classe 1 est aussi décidable dans le cas synchrone en adaptant un résultat de Sierpinski portant sur les sur et sous-graphes à notre contexte. Notre attention s'est ensuite portée aux points de continuité de telles fonctions. Un résultat de Baire dit qu'une fonction n'est pas de classe 1 si et seulement si il existe un fermé non vide sur lequel la fonction n'admet aucun point de continuité. Nous prouvons une version automate de ce théorème : Une fonction omega-rationnelle n'est pas de classe 1 si et seulement si il existe un fermé non vide reconnaissable par un automate de Büchi tel que la restriction de la fonction à ce fermé n'ait aucun point de continuité. Ce résultat est prouvé en utilisant la dérivation de Hausdorff qui s'arrête au bout d'un nombre fini d'étapes sur les langages omega-rationnels Ce travail s'est conclu par l'étude des orbites des fonctions réelles définissables en base Pisot par des transducteurs synchrones. L'ordre de Sarkovski permet de classifier les ordres des orbites périodiques des fonction réelles continues. Le résultat principal obtenu est la décidabilité pour tout entier n de l'existence d'orbites périodiques de cardinalité n et par suite de toute cardinalité inférieure dans l'ordre de Sarkovski