PROBABILITÉ DE SURVIE D'UN PROCESSUS DE BRANCHEMENT DANS UN ENVIRONNEMENT ALÉATOIRE MARKOVIEN

The purpose of this thesis is to study the survival probability of a branching process in markovian random environment and expand in this framework some known results which have been developed for a branching processus in i.i.d. random environment, the core of the study is based on the use of the local limit theorem for a centered random walk (Sn)n 0 on R with markovian increasements and for (mn)n 0, where mn = min (0; S1; ; Sn). In order to treat the case of a markovian random environment, we establish firstly a local limit theorem for a semi-markovian chain on R, which improves certain results developed initially by E. L. Presman (see [22] and [23]). We then use these results to study the asymptotic behavior of a critical branching process in markovian environment. The main results of this thesis are announced in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences ([21]). A detailed paper is submitted for publication in the Journal of Theoretical Probability. In this thesis, we specify all the statements and the detailed proofs.L'objet de cette thèse est d'étudier la probabilité de survie d'un processus de branchement en environnement aléatoire markovien et d'étendre dans ce cadre les résultats connus en milieu aléatoire indépendant et identiquement distribué. Le coeur de l'étude repose sur l'utilisation des théorèmes limites locaux pour une marche aléatoire centrée (Sn)n 0 sur R à pas markoviens et pour (mn)n 0, où mn = min (0; S1; ; Sn). Pour traiter le cas d'un environnement aléatoire markovien, nous développons dans un premier temps une étude des théorèmes locaux pour une chaîne semi-markovienne à valeurs réelles en améliorant certains résultats déjà connus et développés initialement par E. L. Presman (voir [22] et [23]). Nous utilisons ensuite ces résultats pour l'étude du comportement asymptotique de la probabilité de survie d'un processus de branchement critique en environnement aléatoire markovien. Les résultats principaux de cette thèse ont été annoncés dans les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences ([21]). Un article plus détaillé est soumis pour publication dans la revue Journal of Theoretical Probability. Dans cette thèse, nous précisons les énoncés de ces théorèmes et détaillons leurs démonstrations