Spécialisation sur le cône tangent et équisingularité à la Whitney

This thesis studies the geometry of the specialization space φ : (X, 0) → (C, 0) of a germ of complex analytic singularity (X, 0) to its tangent cone (CX,0 , 0) from the point of view of Whitney equisingularity . The application φ gives us a flat family of germs with a section such that for t different from 0 the germ φ−1 (t) is isomorphic to (X, 0) and the special fibre is isomorphic to the tangent cone. The objective is to establish conditions on the strata of the minimal Whitney stratification of (X, 0) that will ensure the equisingularity between the germ and its tangent cone, thus generalizing the result of Lê and Teissier for hypersurfaces of C3 which prouves that the absence of exceptional tangents is sufficient. In this work we prouve that this condition is necessary and sufficient in the general case for the stratum of codimension zero. One of the key ingredients of the proof is the use of the theory of integral dependence of ideals and modules developed by Teissier, Lejeune, Gaffney, Kleiman, etc, whic we recall on the third chapter and where we derive specific statements for our situation. The first two chapters deal with the preliminaries, we begin by recalling the Nash modification and the conormal space of an embedded analytic space in their absolut and relatif to a morphism versions and we give an explicit description of the relation between the relatif conormal (Nash) space of φ : (X, 0) → (C, 0) and the conormal (Nash) of (X, 0). In the second chapter we define the normal/conormal diagram, the auréole of the germ (X, 0), and the exceptional cones and we state the principal results corresponding to the Whitney equisingularity including the characterization of Whitney conditions in terms of the normal/conormal diagram.Cette thèse porte sur l'étude de la géométrie de l'espace de spécialisation φ : (X, 0) → (C, 0) d'un germe de singularité analytique complexe (X, 0) sur son cône tangent (CX,0 , 0) du point de vue de l'équisingularité à la Whitney. L'application φ nous donne une famille plate des germes avec section tel que pour chaque t =! 0 le germe φ−1 (t) est isomorphe à (X, 0) et la fibre spéciale est isomorphe au cône tangent. Le but est de établir des conditions sur les strates de la stratification de Whitney minimale de (X, 0) qui assurent l'équisingularité du germe et son cône tangent, generalisant ainsi le résultat de Lê et Teissier pour les hypersurfaces de C3 qui prouve que l'absence des tangentes exceptionnelles est suffisant. Dans ce travail on montre que cette condition est nécessaire et suffisante dans le cas général pour la strate de codimension zero. L'un des ingrédients clés dans la preuve est la théorie de la dépendance integrale sur des ideaux et des modules développé par Teissier, Lejeune, Gaffney, Kleiman, etc, qu'on rappelle au troisième chapitre et où l'on obtient des résultats spécifiques pour cette situation. Les deux premiers chapitres correspondent aux préliminaires, on commence par rappeller la modification de Nash et l'espace conormal d'un espace analytique plongé dans ses versions absolues et relatives à un morphisme et on donne une description explicite de la relation entre le conormal (Nash) relatif de φ : (X, 0) → (C, 0) et le conormal (Nash) de (X, 0). Dans le deuxième chapitre on définit le diagram normal/conormal, l'auréole du germe (X, 0), les cônes exceptionnelles, et on énonce les résultats principaux correspondant à l'équisingularité à la Whitney en incluant la caractérisation des conditions de Whitney en termes du diagramme normal/conormal