Analyse de méthodes mixtes d'éléments finis en mécanique

The research work of this habilitation is in the field of Numerical Analysis of Partial Differential Equations and concerns the modeling, the discretization, the a priori and a posteriori analysis of numerical schemes and the numerical simulation of different problems from mechanics. A leading thread in my research is the use and study of finite element methods (conforming, nonconforming, mixed, discontinuous Galerkin, stabilized) and of mixed formulations. The considered fields of application are: solid mechanics, petroleum engineering and fluid mechanics, both Newtonian and non-Newtonian. Thus, some problems in linear elasticity were studied, such as the discretization of two bending thin plate models endowed with physical boundary conditions. Single-phase but also multi-phase flows with heat transfer in porous media, described by the Darcy-Forchheimer equations together with an exhaustive energy law, as well as the thermomechanical coupling between a petroleum wellbore (fluid media) and a reservoir (porous media), were also considered, within the framework of a collaboration with the company Total. Finally, I have addressed several topics in fluid mechanics such as: the robust discretization of Stokes equation by a discontinuous Galerkin method related to nonconforming finite elements, the treatment of non-standard boundary conditions for the Navier-Stokes equations, the multi-dimensional hierarchical modeling of fluvial hydrodynamics, the realistic simulation of polymer flows and the stability of numerical schemes with respect to physical parameters, in particular for the Giesekus model.Les travaux de recherche de cette habilitation se situent dans le domaine de l'Analyse Numérique des Equations aux Dérivées Partielles et portent sur la modélisation, la discrétisation, l'analyse a priori et a posteriori de schémas et la simulation numérique de différents problèmes issus de la mécanique. Un fil conducteur de ces travaux est l'utilisation et l'étude des méthodes d'éléments finis (conformes, non-conformes, mixtes, de Galerkin discontinus, stabilisés) et des formulations mixtes. Les domaines d'application abordés sont la mécanique des solides élastiques, l'ingénierie pétrolière et la mécanique des fluides, newtoniens et non-newtoniens. Ainsi, des problèmes d'élasticité linéaire, comme la discrétisation de deux modèles de plaque mince en flexion munie de conditions aux limites physiques, ont été considérés. Des écoulements anisothermes dans les milieux poreux, décrits par les équations de Darcy-Forchheimer avec un bilan d'énergie exhaustif dans les cas mono et multi-phasique, ainsi qu'un couplage thermo-mécanique puits - réservoir pétrolier ont aussi été étudiés, dans le cadre d'une collaboration industrielle avec Total. Enfin, plusieurs questions en mécanique des fluides ont été abordées, comme la discrétisation robuste des équations de Stokes par une méthode de Galerkin discontinue en lien avec les éléments finis non-conformes, le traitement des conditions aux limites non-standard pour les équations de Navier-Stokes, la modélisation hiérarchique multi-dimensionnelle des écoulements fluviaux à surface libre, la simulation réaliste des écoulements de liquides polymères et la stabilité des schémas numériques par rapport aux paramètres physiques, en particulier pour le modèle de Giesekus