Médianes de mesures de probabilité dans les variétés riemanniennes et applications à la détection de cibles radar

In this thesis, we study the medians of a probability measure in a Riemannian manifold. Firstly, the existence and uniqueness of local medians are proved. In order to compute medians in practical cases, we also propose a subgradient algorithm and prove its convergence. After that, Fréchet medians are considered. We prove their statistical consistency and give some quantitative estimations of their robustness with the aid of curvatures. Moreover, we show that, in compact Riemannian manifolds, the Fréchet medians of generic data points are always unique. Some stochastic and deterministic algorithms are proposed for computing Riemannian p-means. A connection between medians and fixed point problems are also given. Finally, we apply the medians and the Riemannian geometry of Toeplitz covariance matrices to radar target detection.Dans cette thèse, nous étudierons les médianes d'une mesure de probabilité dans une variété riemannienne. Dans un premier temps, l'existence et l'unicité des médianes locales seront montrées. Afin de calculer les médianes aux cas pratiques, nous proposerons aussi un algorithme de sous-gradient et prouverons sa convergence. Ensuite, les médianes de Fréchet seront étudiées. Nous montrerons leur cohérence statistique et donnerons des estimations quantitatives de leur robustesse à l'aide de courbures. De plus, nous montrerons que, dans les variétés riemanniennes compactes, les médianes de Fréchet de données génériques sont toujours uniques. Des algorithmes stochastiques et déterministes seront proposés pour calculer les p-moyennes de Fréchet dans les variétés riemanniennes. Un lien entre les médianes et les problèmes de points fixes sera aussi montré. Finalement, nous appliquerons les médiane et la géométrie riemannienne des matrices de covariance Toeplitz à la détection de cible radar