Enroulement, contact et vibrations de tiges élastiques

This dissertation deals with equilibrium, stability and vibrations of twisted rods. First the model used (i.e. the Kirchhoff equations) is presented from two perspectives : (i) as a direct theory, the special Cosserat theory of rods, and (ii) as a 3D -> 1D asymptotic theory. The core of the text is dedicated to a relatively comprehensive study of equilibrium solutions of a clamped twisted rods with or without self-contact. Results are applied to DNA supercoiling and single-molecule experiments. Then the case of a rod with intrinsic curvature and twist coiled around a rigid cylinder is examined. The equilibrium equations obtained are applied to analyze biology related problems as the growth of a climbing plant around a pole and the secondary structure of the protein keratin. Finally the dynamics of a planar elastica is considered in two different configurations. First the dynamics of a bent and released cantilever is analyzed and shown to give rise to curvature overshoots. Second the in-plane vibrations of a planar clamped elastica after buckling are numerically computed and the role of extensibility is examined.Ce mémoire présente plusieurs études sur l'équilibre, la stabilité et les vibrations de poutres élastiques en grande rotation. Le modèle utilisé est d'abord présenté de deux manières différentes : les équations de Kirchhoff sont introduites (i) comme une théorie directe de Cosserat, (ii) par une approche asymptotique 3D->1D. Une étude relativement complète des équilibres avec et sans auto-contact d'une poutre sous contrainte de tension et torsion et encastrée en ses deux extrémités est ensuite exposée. Le modèle est d'autre part appliqué au sur-enroulement de la molécule d'ADN et aux expériences sur molécule individuelle. Le cas d'une poutre naturellement courbe enroulée autour d'un obstacle cylindrique est ensuite traité. Les équations d'équilibre obtenues sont appliquées au cas d'une plante grimpante autour d'un tuteur ainsi qu'aux configurations dimériques de la protéine kératine. Enfin la dynamique d'une poutre plane est analysée sous deux angles différents : (i) le relâchement d'une poutre console qui donne lieu au phénomène de renforcement de courbure, et (ii) les vibrations d'une poutre post-flambée, encastrée en ses deux extrémités, avec comparaison des cas extensibles et inextensibles. La conclusion mentionne quelques problèmes d'intérêt qui seront l'objets d'études futures