Deux études en gestion de risque: assurance de portefeuille avec contrainte en risque et couverture quadratique dans les modèles a sauts

In this thesis I'm interested in two aspects of portfolio management: the portfolio insurance under a risk measure constraint and quadratic hedge in incomplete markets. Part I. I study the problem of portfolio insurance from the point of view of a fund manager, who guarantees to the investor that the portfolio value at maturity will be above a fixed threshold. If, at maturity, the portfolio value is below the guaranteed level, a third party will refund the investor up to the guarantee. In exchange for this protection, for which the investor pays a given fee, the third party imposes a limit on the risk exposure of the fund manager, in the form of a convex monetary risk measure. The fund manager therefore tries to maximize the investor's utility function subject to the risk measure constraint. I give a full solution to this nonconvex optimization problem in the complete market setting and show in particular that the choice of the risk measure is crucial for the optimal portfolio to exist. An interesting outcome is that the fund manager's maximization problem may not admit an optimal solution for all convex risk measures, which means that not all convex risk measures may be used to limit fund's exposure in this way. I provide conditions for the existence of the solution. Explicit results are provided for the entropic risk measure (for which the optimal portfolio always exists), for the class of spectral risk measures (for which the optimal portfolio may fail to exist in some cases) and for the G-divergence. Key words: Portfolio Insurance; utility maximization; convex risk measure; VaR, CVaR and spectral risk measure; entropy and G-divergence. Part II. In the second part I study the problem of quadratic hedge in incomplete markets. I work with a three-dimensional Markov jump process: the first component is the state variable representing the hedging instrument traded in the market, the second component models a risk factor which "perturbs" the dynamics of the hedging instrument and is not traded in the market (as a volatility factor for example in stochastic volatility models); the third one is another source of risk which affects the option's payoff at maturity and is also not traded in the market. The problem can be seen then as a constrained quadratic hedge problem. I privilege here the dynamic programming approach which allows me to obtain the HJB equation related to the value function. This equation is semi linear and non local due the presence of jumps. The main result of this thesis is that this value function, as a function of the initial wealth, is a second order polynomial whose coefficients are characterized as the unique smooth solutions of a triplet of PIDEs, the first of which is semi linear and does not depend on the particular choice of option one wants to hedge, the other two being simply linear. This result is stated when the Markov process is assumed to be a non-generate jump-diffusion and when it is a pure jump process. I finally apply my theoretical results to an example of quadratic hedge in the context of electricity markets.Dans cette thèse, je me suis interessé a deux aspects de la gestion de portefeuille : la maximisation de l'utilité e d'un portefeuille financier lorsque on impose une contrainte sur l'exposition au risque, et la couverture quadratique en marché incomplet. Part I. Dans la première partie, j' étudie un problème d'assurance de portefeuille du point de vue du manager d'un fond d'investissement, qui veut structurer un produit financier pour les investisseurs du fond avec une garantie sur la valeur du portefeuille a la maturité . Si, a la maturité, la valeur du portefeuille est au dessous d'un seuil x e, l'investisseur sera remboursé a la hauteur de ce seuil par une troisième partie, qui joue le rôle d'assureur du fond (on peut imaginer que le fond appartient à une banque et que donc c'est la banque elle même qui joue le rôle d'assureur). En échange de cette assurance, la troisième partie impose une contrainte sur l'exposition au risque que le manager du fond peut tolérer, mesurée avec une mesure de risque monétaire convexe. Je donne la solution complet e de ce problème de maximisation non convexe en marché complet et je prouve que le choix de la mesure de risque est un point crucial pour avoir existence d'un portefeuille optimal. J'applique donc mes résultats lorsque on utilise la mesure de risque entropique (pour laquelle le portefeuille optimal existe toujours), les mesures de risque spectrales (pour lesquelles le portefeuille optimal peut ne pas exister dans certains cas) et la G-divergence. Mots-cl es : Assurance de portefeuille ; maximisation d'utilité ; mesure de risque convexe ; VaR, CVaR et mesure de risque spectrale ; entropie et G-divergence. Part II. Dans la deuxième partie, je m'intéresse au problème de couverture quadratique en marché incomplet. J'assume que le marché est d écrit par un processus Markovien tridimensionnel avec sauts. La premi ère variable d' état décrit l'actif - financier, échangeable sur le marché, qui sert comme instrument de couverture ; la deuxième variable d' état modélise un actif financier que intervient dans la dynamique de l'instrument de couverture mais qui n'est pas échangeable sur le march é : il peut donc être vu comme un facteur de volatilité de l'instrument de couverture, ou comme un actif financier que l'on ne peut pas acheter (pour de raisons légales par exemple) ; la troisième et dernière variable d' état représente une source externe de risque qui affecte l'option Européenne qu'on veut couvrir, et qui, elle aussi, n'est pas échangeable sur le marché. Pour résoudre le problème j'utilise l'approche de la programmation dynamique, qui me permet d' écrire l' équation de Hamilton-Jacobi- Bellman associé e au problème de couverture quadratique, qui est non locale en non linéaire. Je prouve que la fonction valeur associée au problème de couverture quadratique peut être caractérisée par un système de trois équations integro- différentielles aux dérivées partielles, dont l'une est semilinéaire et ne dépends pas du choix de l'option a couvrir, et les deux autres sont simplement linéaires , et que ce système a une unique solution r régulière dans un espace de Hölder approprié, qui me permet donc de caractériser la stratégie de couverture optimale . Ce résultat est démontré lorsque le processus est non dégénéré (c'est a dire que la composante Brownienne est strictement elliptique) et lorsque le processus est a sauts purs. Je conclus avec une application de mes résultats dans le cadre du marché de l' électricité. Mots-cl es : Couverture quadratique ; modèle a sauts ; programmation dynamique ; équation de Hamilton-Jacobi-Bellman ; équations aux dérivées partielles integro-différentielles