Analyse et modélisation de vibrations non-linéaires de milieux minces élastiques - Application aux instruments de percussion

This thesis is devoted to the study of the non-linear vibrations of percussion instruments, such as cymbals and gongs. The idea is to contribute to the writing of a physical model of behaviour, in order, on the one hand to understand the sound production mecanisms, and on the other hand to do sound synthesis. In a first part are presented results from experiments conducted on a chinese tam-tam, when it is subjected to a harmonic forcing of frequency close to a natural frequency. Simple non-linear phenomena are exhibited, such as the dependance of the free-oscillations frequency on the amplitude of the movement, hysteretic resonances, and energy exchanges between normal modes. A second part is devoted to modelize percussion instruments by circular thin elastic plates, with free edge, subjected to large deflections and moderate rotations. The non-linear dynamic analogue of Von-Karman equations is used, and its validity range is discussed. The solution is expanding onto the linear normal modes. The reduction of the problem to a one mode vibration is studied in details. A physical model is derived and confirmed very precisely by experiments. When an asymetric mode is under study, a nonlinear coupling between the two corresponding degenerated modes is predicted, and studied. In the third part, one-degree-of-freedom (DDL) systems are studied. They are composed of articulated rods subjected to large deflections. Through simple arguments, a parallel is drawn between the dynamics exhibited by those systems, and the behaviour of percussion instruments. A physical interpretation of the geometrical non-linearities is first exposed. Then, this 1DDL models shed a new light on the one-mode behaviour of the chinese tam-tam. In particular, the influence of simple gemetrical parameters (such as the thickness and the curvature) on the non-linearities is evaluated.Les vibrations des instruments de percussion non-linéaires (famille regroupant les gongs et les cymbales) présentent des comportements complexes et des caractéristiques propres aux systèmes non-linéaires en conditions normales de jeu. On peut notamment citer le spectre continu et à large bande en vibrations de grande amplitude et la sensibilité aux conditions initiales. Le but de cette étude est de fournir un début de modélisation de ces structures, en vue de comprendre les mécanismes de génération du son et de contribuer à l'établissement d'un modèle pour la synthèse sonore. Dans une première partie sont présentés des résultats expérimentaux conduits sur un tam-tam chinois, lorsque celui-ci est excité à l'une de ses résonances par une force harmonique. Cela permet d'identifier des phénomènes non-linéaires simples, comme une dépendance en l'amplitude des vibrations de la fréquence des oscillations libres, des résonances hystérétiques associées à des phénomènes de saut entre différents régimes de vibration, et des échanges d'énergie entre modes propres résultant de combinaisons de résonances. Une deuxième partie est consacrée à la modélisation des instruments de percussion par des plaques circulaires élastiques à bord libre, en grand déplacement et rotations modérées. Le modèle non-linéaire de Von-Karman est utilisé et son domaine de validité est discuté. Les équations non-linéaires aux dérivées partielles sont ensuite projetées sur la base des modes propres. Le cas particulier où la vibration n'est gouvernée que par un mode est étudié en détail: un modèle analytique de comportement est établi et validé par une étude expérimentale. Lorsque le mode considéré est asymétrique, le couplage entre les deux modes propres dégénérés est prédit quantitativement de façon très précise, au moyen d'un recalage du modèle. Dans une troisième partie, on étudie des systèmes à un degré-de-liberté, composés de barres élastiques articulées. Une interprétation physique des non-linéarités géométriques est tout d'abord proposée. Ces modèles permettent ensuite d'expliquer les comportements unimodaux du tam-tam. L'influence de la géométrie de la structure (à travers sa courbure et son épaisseur) sur l'incurvation des courbes de résonance et la distortion harmonique des signaux de vibrations est clairement établie