Représentations galoisiennes et phi-modules : aspects algorithmiques

We study algorithmic aspects of the theory of modular representations of p-adic Galois groups. For this purpose, one of the tools introduced by Fontaine is the theory of ϕ-modules. A ϕ-modles over a field K of positive characteristic is the data of a finite-dimensional vector space over K, endowed with an endomorphism ϕ that is semilinear with respect to the Frobenius morphism on K. The category of representations of the absolute galois group of K with coefficients in a finite field is equivalent to that of étale ϕ-modules over K. The aim of the works collected here is to give algorithms to decribe the representation associated to a given ϕ-module as completely as possible. First, we study the ϕ-modules over finite fields, which allows us new results describing the so-called skew polynomials over a finite field. These are ob jets used for example in the theory of error-correcting codes. We improve a part of the algorithm of Giesbrecht for the factorizations of these polynomials. We the consider the category of ϕ-modules over a field of formal power series of characteristic p. We give a classification of the simple ob jects of this category when the residue field is algebraically closed. We decribe an efficient algorithm to decompose a ϕ-module with isocline ϕ-modules. We give applications to the algorithmic study of p-torsion representations of p-adic Galois groups.Nous nous intéressons aux aspects algorithmiques de la théorie des représentations modulo p de groupes de Galois p-adiques. À cet effet, l'un des outils introduits par Fontaine est la théorie de ϕ-modules : un ϕ-module sur un corps K de caractéristique p est la donnée d'un espace vectoriel de dimension finie sur K muni d'un endomorphisme ϕ, semi-linéaire par rapport au morphisme de Frobenius sur K. Les représentations à coefficients dans un corps fini du groupe de Galois absolu de K forment une catégorie équivalente à la catégorie des ϕ-modules dits " étales " sur K. Le but des travaux rassemblés ici est donner des algorithmes pour décrire le plus complètement possible la représentation associée à un ϕ-module donné. Nous étudions en préambule les ϕ-modules sur les corps finis, ce qui nous permet d'obtenir de nouveaux résultats décrivant les polynômes tordus sur un corps fini, qui sont des ob jets utilisés notamment en théorie des codes correcteurs. Cela nous permet d'améliorer en partie l'algorithme dû à Giesbrecht pour la factorisation de ces polynômes. Nous nous intéressons ensuite à la catégorie des ϕ-modules sur un corps de séries formelles de caractéristique p. Nous donnons une classification des ob jets simples de cette catégorie lorsque le corps résiduel est algébrique- ment clos, et décrivons un algorithme efficace pour décomposer un ϕ-module en ϕ-modules " isoclines ". Nous donnons des applications à l'étude algorithmique des représentations de p-torsion de groupes de Galois p-adiques