Solutions globales, limite de relaxation, contrôlabilité et observabilité exactes, frontières pour des systèmes hyperboliques quasi-linéaires

This thesis is essentially composed of two parts. In the ¯rst part, I study the Euler- Maxwell system. Using the classical method of energy integral, I prove the existence and uniqueness of global solutions to the system with small initial data. After that, I study the relaxation limit. I prove that, as the relaxation time tends to zero, the Euler-Maxwell system converges to the drift-diffusion models. In the second part, I study the exact boundary controllability and observability of quasilinear hyperbolic systems in a tree-like network. In this part, based on the theory of the semi-global C1 solution of the mixed initial-boundary value problem for first order quasilinear hyperbolic systems, I deal with the controllability and observability with a constructive method. Taking the unsteady flows in a tree-like network of open canals as a physical model, I consider the exact boundary controllability and observability in subcritical and super- critical situations, respectively. By the comparison of these two cases, I find some duality of the controllability and observability. Meanwhile, using the similar way, I get the exact boundary controllability of quasilinear wave equations on a tree-like planar network of stings.Cette thèse est essentiellement composée de deux parties. Dans la première partie, on étudie le système d'Euler-Maxwell. En utilisant la méthode d'intégration de l'énergie classique, on montre l'existence et l'unicité de solutions régulières du système avec données initiales petites. Ensuite, on étudie la limite de relaxation en montrant que, le sytème d'Euler-Maxwell converge vers les équations de dérive-diffusion quand le temps de relaxation tend vers zéro. Dans la deuxième partie, on cherche la contrôlabilité et l'observabilité exactes frontières de systèmes hyperboliques quasi-linéaires dans un réseau du type d'arbre. On établit des résultats d'existences de la contrôlabilité et l'observabilité par des méthodes constructives qui sont basées sur la théorie de la solution C1 semi-globale du système hyperbolique quasi-linéaire du premier ordre avec conditions initiales et frontières. Ensuite, on trouve des dualités de la contrôlabilité et l'observabilité