La correspondance de Howe géométrique modérément ramifiée pour les paires duales de type II dans le cadre du programme de Langlands géométrique

In this thesis we are interested in the geometric Howe correspondence for the dual reductive pair of type II (G = GL_n,H = GL_m) over a non-Archimedean field F of characteristic different from 2 as well as in the geometric Langlands functoriality at the Iwahori level. Let S be the Weil representation of G(F)×H(F) and IH, IG be Iwahori subgroups in H(F) and G(F). We consider the geometric version of the representation S^(I_H×I_G) of the Iwahori-Hecke algebras H_H, H_G, it is acted on by Hecke functors. We obtain some partial results on the geometric description of the corresponding category. We propose a conjecture describing the Grothendieck group this category as a module over the affine Hecke algebras for G and H. Our description is in terms of some stack attached to the Langlands dual groups in the style of Kazhdan-Lusztig isomorphism. We prove our conjecture for the pair (GL_1,GL_m) for any m. More generally, given tow reductive connected groups G, H and a morphism \check{G} × SL_2 \to \check{H} of Langlands dual groups, we suggest a bimodule over the affine Hecke algebras for H and G that should realize the local geometric Langlands functoriality on the Iwahori level.Dans cette thèse on s'intéresse à la correspondance de Howe géométrique pour les paires duales réductives de type II (G = GL_n, H = GL_m) sur un corps local non-Archimédien F de caractéristique différente de 2, ainsi qu'à la fonctorialité de Langlands géométrique au niveau Iwahori. Notons S la représentation de Weil de G(F) × H(F) et I_H, I_G des sous groupes d'Iwahori de H(F) et G(F). On considère la version géométrique de la représentation S^(I_G×I_H) des algèbres de Hecke-Iwahori H_H et H_G sur laquelle agissent les foncteurs de Hecke. On obtient des résultats partiels sur la description géométrique de la catégorie correspondante. Nous proposons une conjecture décrivant le groupe de Grothendieck de cette catégorie comme module sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H. Notre description est en termes d'un champ attaché aux groupes de Langlands duaux dans le style de l'isomorphisme de Kazhdan-Lusztig. On démontre cette conjecture pour toutes les paires (GL_1, GL_m). Plus généralement, étant donné deux groupes réductifs connexes G et H et un morphisme \check{G}× SL_2 \to \check{H} de groupes de Langlands duaux, on suggère un bimodule sur les algèbres de Hecke affines étendues de G et de H qui pourrait conjecturalement réaliser la fonctorialité de Langlands géométrique locale au niveau Iwahori