Équation de Monge-Ampère complexe, métriques kählériennes de type Poincaré et instantons gravitationnels ALF

The topic of this thesis is the resolution of Monge-Ampère equations and its application on certain types of non-compact manifolds. This dissertation describes more precisely two distinct situations in which we solve Monge-Ampère equations, and draw conclusions of these resolutions. We work in a first part on the complement of a divisor with normal crossings in a compact Kähler manifold. We fix on the complement of the divisor a class of Kähler metrics with cusp singularities along the divisor. In order to construct geodesics joining metrics of this class, we solve a homogeneous Monge-Ampère equation on the product of our Zariski open set with some Riemann surface with boundary. This construction is then applied to a uniqueness results for constant scalar curvature metrics in the considered class; for this, we also solve a Monge-Ampère equation with right-hand-side member on the complement of the divisor. We finally prove topological obstructions to the existence of constant scalar curvature metrics among the classes of singular metrics we are interested in. The second part of the dissertation is devoted to an analytic construction of ALF gravitational instantons, that is complete hyperkähler 4-manifolds, with cubic growth of the volume. We give the construction of some dihedral instantons ; more specifically, we consider resolutions of kleinian singularities. The treatment of a Monge-Ampère equation, given for quite general ALF manifolds, allows us to correct on our examples a simple prototype to get the sought hyperkähler metric.Ce travail de thèse s'intéresse à la résolution d'équations de Monge-Ampère complexes et à ses applications sur certains types de variétés non compactes. Ce mémoire décrit plus précisément deux situations distinctes dans lesquelles on résout des équations de Monge-Ampère, avant de tirer les conséquences de ces résolutions. Dans une première partie, on travaille sur le complémentaire d'un diviseur à croisements normaux dans une variété kählérienne compacte. On fixe sur le complémentaire du diviseur une classe de métriques kählériennes à singularités cusp le long du diviseur. Pour construire des géodésiques entre métriques de cette classe, on résout une équation de Monge-Ampère homogène, sur le produit de notre ouvert de Zariski par une surface de Riemann à bord. On applique cette construction à un résultat d'unicité de métriques à courbure scalaire constante dans la classe considérée ; on résout encore pour cela une équation de Monge-Ampère avec second membre sur le complémentaire du diviseur. On exhibe enfin des obstructions topologiques à l'existence de métriques à courbure scalaire constante au sein des classes de métriques kählériennes singulières envisagées. La seconde partie du mémoire traite d'une construction analytique d'instantons gravitationnels ALF, ou variétés complètes de dimension 4, hyperkählériennes, à croissance cubique du volume. On donne la construction d'instantons diédraux ; on considère plus exactement des résolutions de singularités kleiniennes diédrales. Le traitement d'une équation de Monge-Ampère, donné pour des variétés kählériennes ALF assez générales, nous permet sur nos exemples de corriger un prototype simple pour obtenir la métrique hyperkählérienne recherchée