Partial Differential Equation and Noise

In this work we present examples of the effects of noise on the solution of a partial differential equation (PDE) in three different settings. We will first consider random initial conditions for two nonlinear dispersive PDEs, the nonlinear Schrödinger equation and the Korteweg - de Vries equation, and analyze their effects on some special solutions, the soliton solutions. The second case considered is a linear PDE, the wave equation, with random initial condi- tions. We will show that special random initial conditions allow to substantially decrease the computational and data storage costs of an algorithm to solve the inverse problem based on the boundary measurements of the solution of this equation. Finally, the third example considered is that of the linear transport equation with a singular drift term, where we will show that the addition of a multiplicative noise term forbids the blow up of solutions, under very weak hypothesis for which we have finite-time blow up of solutions in the deterministic case.Dans ce travail, nous présentons quelques exemples des effets du bruit sur la solution d'une équation aux dérivées partielles (EDP) dans trois contextes différents. Nous exam- inons d'abord deux équations aux dérivées partielles non linéaires dispersives, l'équation de Schrödinger non linéaire et l'équation de Korteweg - de Vries. Nous allons analyser les effets d'une condition initiale aléatoire sur certaines solutions spéciales, les solitons. Le deuxième cas considéré est une EDP linéaire, l'équation d'onde, avec conditions initiales aléatoires. Nous allons montrer qu'avec des conditions initiales aléatoires particulières c'est possible de réduire considérablement les coûts de stockage des données et de calcul d'un algorithme pour résoudre un problème inverse basé sur les mesures de la solution de cette équation au bord du domaine. Enfin, le troisième exemple considéré est celui de l'équation de transport linéaire avec un terme de dérive singulière. Nous allons montrer que l'ajout d'un terme de bruit multiplicatif interdit l'explosion des solutions, et cela sous des hypothèses très faibles pour lesquelles dans le cas déterministe on peut avoir l'explosion de la solution à temps fini