Analyse de modèles mathématiques pour la propagation de la lumière dans les fibres optiques en présence de biréfringence aléatoire

The study of light propagation in monomode optical fibers requires to take care of various complex phenomena such as the polarization mode dispersion (PMD) and the Kerr effect. It has been proved that the slowly varying envelope of the electric field is well described by a coupled non linear schrödinger equation with random coefficients called the Manakov PMD equation. The particularity of this equation is the presence of various length scales whose ratio is given by a small parameter. The first part of this thesis is concerned with the theoretical study of the asymptotic dynamic of the solution of the Manakov PMD equation as this parameter goes to zero. Generalizing the theory of the Diffusion Approximation in the infinite dimensional setting, we were able to prove that the asymptotic dynamic is given by a stochastic partial differential equation driven by three Brownian motions. In a second part, we propose a Crank Nicolson scheme for this equation and we prove that the order of convergence is 1/2. The discretization of the noise term is taken implicit so that the scheme is conservative and stable. Finally the last part is concerned with numerical simulations of the PMD and propagation and collision of Manakov solitons. The above scheme is implemented and we propose a variance reduction method valid in the context of stochastic partial differential equations.L'étude de la propagation de la lumière dans les fibres optiques monomodes requiert la prise en compte de plusieurs phénomènes compliqués tels que la dispersion modale de polarisation et l'effet Kerr. Il s'est avéré que l'évolution de l'enveloppe lentement variable du champ électrique est bien décrite par un système couplé d'équations de Schrödinger non linéaires à coefficients aléatoires : l'équation de Manakov PMD. Cette équation fait intervenir différentes échelles dont le ratio est donné par un petit paramètre. La première partie de ce travail consiste à étudier le comportement asymptotique de la solution de l'équation de Manakov PMD lorsque ce petit paramètre tend vers zéro. En généralisant la théorie de l'Approximation-Diffusion au cadre de la dimension infinie, on a montré que la dynamique asymptotique est donnée par une équation aux dérivées partielles stochastiques dirigée par un mouvement brownien de dimension trois. Dans une seconde partie, nous proposons un schéma de différences finies de type Crank Nicolson pour cette équation pour lequel nous obtenons un ordre de convergence en probabilité d'ordre 1/2. La discrétisation du bruit doit être implicite afin d'obtenir un schéma conservatif et stable. Enfin la dernière partie est relative à la simulation numérique de la dispersion modale de polarisation et à ses effets sur la propagation et la collision de solitons de Manakov. Dans ce cadre, on propose une méthode de réduction de variance valable pour les équations aux dérivées partielles stochastiques