Inclusions Monotones en Dualité et Applications

The goal of this thesis is to develop new splitting techniques for set-valued operators to solve structured monotone inclusion problems in Hilbert spaces. Duality plays a central role in this work. It allows us to obtain decompositions which would not be available through a purely primal approach. We develop several fixed and variable metric algorithms in a unified framework, and show in particular that many existing methods are special cases of the forward-backward method formulated in a suitable product space. The proposed methods are applied to variational inequalities, minimization problems, inverse problems, signal processing problems, feasibility problems, and best approximation problems. Next, we introduce the notion of a variable metric quasi-Fejér sequence and analyze its asymptotic properties. These results allow us to obtain extensions of splitting schemes to problems in which the metric varies at each iteration.Le but de cette thèse est de développer de nouvelles techniques d'éclatement d'opérateurs multivoques pour résoudre des problèmes d'inclusion monotone structurés dans des espaces hilbertiens. La dualité au sens des inclusions monotones tient une place essentielle dans ce travail et nous permet d'obtenir des décompositions qui ne seraient pas disponibles via une approche purement primale. Nous développons plusieurs algorithmes à métrique fixe ou variable dans un cadre unifié, et montrons en particulier que de nombreuses méthodes existantes sont des cas particuliers de la méthode explicite--implicite formulée dans des espaces produits adéquats. Les méthodes proposées sont appliquées aux problèmes d'inéquations variationnelles, aux problèmes de minimisation, aux problèmes inverses, aux problèmes de traitement du signal, aux problèmes d'admissibilité et aux problèmes de meilleure approximation. Dans un second temps, nous introduisons une notion de suite quasi-fejérienne à métrique variable et analysons ses propriétés asymptotiques. Ces résultats nous permettent d'obtenir des extensions de méthodes d'éclatement aux problèmes où la métrique varie à chaque itération