Elaboration de solveurs volumes finis 2D/3D pour résoudre le problème de l'élasticité linéaire

Finite element methods are conventionally used for solving linear elasticity equations. These methods produce very good results and are widely analyzed from a mathematical point of view to study solid deformations. It seems interesting to have Finite Volume solvers for coupled solid/fluid problems, realistic situations in presence of discontinuities (freezing fronts modeling in wet soils), or even to compute fields better suited to non-conforming meshes. Finite Volume methods are widely used in fluid mechanics. Applied to convection problems, they are well suited to compute solutions with discontinuities and do not require mesh conformity. Moreover, they have the advantage of preserving discrete flows across the interfaces of the mesh. Therefore, we develop and test in this thesis several finite volume methods for solving the elasticity problem. First of all, we implement the LSGR method (Least Squares Gradient Reconstruction), which reconstructs gradients by volume from a weighted least squares formula on neighboring volumes. This method has been successfully tested for unstructured tetrahedral meshes, and shows a first-order convergence rate. Then, we present the Mixed Finite Volume method, based on the conservation of a "penalized" flow across the interfaces. The penalty term imposes a constraint on the type of meshes, and numerical tests are performed in 2D with structured and unstructured quadrangles. Afterwards, we extend the diamond-cell Finite Volume method to the elasticity. This method computes a discrete gradient on sub-volumes related to the interfaces from the interpolation of the solution at vertices. The theoretical convergence is proved under a coercivity condition. The numerical results, achieved in 2d for unstructured meshes, give a second-order convergence rate. Finally, we present the DDFV method (Discrete Duality Finite Volume), which is an extension of the precedent one. This method is based on a correspondence between several meshes in order to construct discrete operators on "discrete duality". We show that the DDFV scheme is a first-order convergent method. The 2d and 3d numerical tests on unstructured meshes show a second-order convergence rate, which is a classical result for this method.Les méthodes classiques de résolution des équations de l'élasticité linéaire sont les méthodes éléments finis. Ces méthodes produisent de très bons résultats et sont très largement analysées mathématiquement pour l'étude des déformations solides. Pour des problèmes de couplage solide/fluide, pour des situations réalistes en présence de discontinuités (modélisation des fronts de gel dans les sols humides), ou bien encore pour des domaines de calcul mieux adaptés aux maillages non conformes, il parait intéressant de disposer de solveurs Volumes Finis. Les méthodes Volumes Finis sont très largement utilisées en mécanique des fluides. Appliquées aux problèmes de convection, elles sont bien adaptées à la capture de solutions présentant des discontinuités et ne nécessitent pas de maillages conformes. De plus, elles présentent l'avantage de conserver au niveau discret les flux à travers les interfaces du maillage. C'est pourquoi sont développées et testées, dans cette thèse, plusieurs méthodes de volumes finis, qui permettent de traiter le problème de l'élasticité. On a, dans un premier temps, mis en œuvre la méthode LSGR (Least Squares Gradient Reconstruction), qui reconstruit des gradients par volumes à partir d'une formule de moindres carrés pondérés sur les volumes voisins. Elle est testée pour des maillages tétraédriques non structurés, et montre un ordre 1 de convergence. La méthode des Volumes Finis mixtes est ensuite présentée, basée sur la conservation d'un flux "pénalisé" à travers les interfaces. Cette pénalisation impose une contrainte sur le type de maillage utilisé, et des tests sont réalisés en 2d avec des maillages structurés et non structurés de quadrangles. On étend ensuite la méthode des Volumes Finis diamants à l'élasticité. Cette méthode détermine un gradient discret sur des sous volumes associés aux interfaces à partir de l'interpolation de la solution aux sommets du maillage. La convergence théorique est prouvée sous réserve de vérifier une condition de coercivité. Les résultats numériques, en 2d pour des maillages non structurés, conduisent à un ordre de convergence meilleur que celui prouvé. Enfin, la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui est une extension de la méthode Diamant, est présentée. Elle est basée sur une correspondance entre plusieurs maillages afin d'y construire des opérateurs discrets en "dualité discrète". On montre que la méthode est convergente d'ordre 1. Les illustrations numériques, réalisées en 2d et en 3d pour des maillages non structurés, montrent une convergence d'ordre 2, ce qui est fréquemment observé pour cette méthode