Quelques sujets en contrôle déterministe et stochastique : méthodes de type LP, PDMP associés aux réseaux de gènes, contrôlabilité

The aim of this synthesis is to present my research activity covering the period elapsed since the terminal year of my PhD program (i.e. the period October 2008 - February 2013). My subjects of research roughly correspond to three main directions, each one presented in a separate section : ∙ Linear programming (LP) methods in deterministic and stochastic control problems; ∙ Control methods in piecewise deterministic Markov processes and their applications to stochastic gene networks; ∙ Controllability properties for linear stochastic systems and related topics. In the first section, we study several classes of deterministic/stochastic control problems with semicontinuous cost. In the stochastic framework, we consider the Mayer problem and optimal stopping for controlled diffusions (corresponding to the paper [G10]), dynamic programming principles (corresponding to the paper [G6]) and control problems with state constraints (corresponding to the paper [G2]). We also study optimal control problems with discounted payoffs in an infinite horizon setting and long-time averaging (corresponding to [G12]), systems driven by stochastic variational inequalities ([G3]), and Zubov's characterization of asymptotic stability domains ([G3]). We investigate the existence of the limit value function for a class of nonlinear stochastic control problems under nonexpansive assumptions and uniform Tauberian theorems (corresponding to [G19]). In the deterministic setting, we consider the linearization and the dynamic programming principles for L^{∞}-control problems (corresponding to the paper [G9]) and for systems with state constraints (in [G1]). We propose a linearization method for min-max control problems (corresponding to [G18]). The common point between these articles is the method employed relying on linearized formulation and viscosity tools. We also present some viability results for singularly perturbed control systems (corresponding to [G13]). The second section is devoted to some contributions to the theory of controlled piecewise deterministic Markov processes (PDMP). We investigate geometric conditions for viability and invariance with respect to controlled PDMPs (corresponding to [G5]). We also provide linear formulations for control problems in this framework (corresponding to [G8] and [G4]). This allows to infer some reachability conditions (cf. [G5]) and to characterize asymptotic stability domains by generalizing Zubov's method (in [G4]). The theoretical results are applied to a class of systems connected to stochastic gene networks (On/Off models, Cook's model for haploinsufficiency and Hasty's model of bistability in bacteriophage λ). The last section presents the study of different types of controllability in connection to: linear jump-diffusions (corresponding to [G7]) and linear control systems of mean-field type (corresponding to [G20]). The arguments involve some viability criteria. A first step towards the study of controllability properties in a Hilbert setting is done by the paper [G11]. In this article, we propose a quasi-tangency approach to stochastic (near)viability with respect to semilinear systems in an infinite-dimensional framework. We have tried to keep the manuscript as self-contained as possible. In order to insure better readability, we have also tried to make the sections independent. However, to keep the manuscript's proportions, we have chosen to limit the redundancy. This is the reason why control problems with state constraints are only presented in the stochastic framework. Also, details for Zubov's method are solely given in the PDMP framework and we only mention the contribution for Brownian diffusions.Le but de cette synthèse est de présenter mon activité de recherche couvrant la période de temps écoulée à partir de l'année terminale de ma thèse (c'est à dire, la période octobre 2008 - février 2013). Mes thèmes de recherche correspondent, en majeure partie, à trois directions principales, chacune présentée dans une section dédiée : - méthodes de programmation linéaire dans l'étude des problèmes de contrôle déterministe ou stochastique ; - méthodes de contrôle des processus Markoviens déterministes par morceaux et leurs applications dans la théorie des réseaux stochastiques de gènes. - propriétés de contrôlabilité des systèmes linéaires stochastiques et sujets connexes. Dans le premier chapitre, nous étudions plusieurs classes de problèmes de contrôle déterministe ou stochastique à coût discontinu. Dans le contexte stochastique, nous considérons le problème de type Mayer et l'arrêt optimal des diffusions contrôlées (correspondant à l'article [G10]), les principes de la programmation dynamique (correspondant à l'article [G6]), ainsi qu'une classe de problèmes de contrôle impliquant des contraintes d'état (correspondant à l'article [G2]). Nous étudions également : des problèmes de contrôle à coût escompté et en horizon infini, ainsi que la moyennisation en temps long (correspondant à [G12]), des systèmes régis par des inégalités variationnelles stochastiques (dans [G3]) et une caractérisation de type Zubov pour les domaines de stabilité asymptotique (toujours dans [G3]). Nous investiguons l'existence d'une fonction valeur limite pour une classe de problèmes de contrôle stochastique sous des hypothèses de non-expansivité, ainsi que des théorèmes Tauberiennes uniformes (correspondant à [G19]). Dans le cadre déterministe, nous considérons la linéarisation et les principes de la programmation dynamique pour des problèmes de type coût supremum (ce qui correspond à [G9]) et pour des systèmes à contraintes d'état (dans [G1]). Nous proposons une méthode de linéarisation pour des problèmes de type min-max (correspondant à [G18]). Le point commun entre ces articles réside dans la méthode employée basée sur des formulation linéaires et des techniques de viscosité. Nous présentons également des résultats de viabilité pour les perturbations singulières des systèmes contrôlés (correspondant à [G13]). Le deuxième chapitre est axé sur quelques contributions à la théorie des processus de Markov déterministes par morceaux (PDMP, acronyme anglais de "piecewise deterministic Markov process"). Nous investiguons des conditions géométriques pour la viabilité et l'invariance des ensembles fermés par rapport aux dynamiques PDMP contrôlées (correspondant à l'article [G5]). Nous proposons également des formulations linéaires pour certains problèmes de contrôle dans ce contexte (correspondant aux articles [G8] et [G4]). Ces résultats permettent d'en inférer certaines conditions d'atteignabilité (dans l'article [G5]) ainsi que de caractériser les domaines de stabilité asymptotique en généralisant la méthode de Zubov (dans l'article [G4]). Les résultats théoriques sont appliqués à une classe de systèmes associés à des réseaux stochastiques de gènes (des modèles On/Off, le modèle proposé par Cook pour l'haploinsuffisance, ainsi que le modèle de Hasty pour la bistabilité du phage lambda). Le dernier chapitre présente l'étude de différentes classes de contrôlabilité pour des systèmes linéaires de type diffusion à sauts (correspondant à l'article [G7]) ou des systèmes linéaires de contrôle à dynamique champs-moyen (correspondant à l'article [G20]). Les arguments font intervenir des techniques de viabilité ainsi que des équations différentielles de type Riccati. Une première étape dans l'étude des propriétés de contrôlabilité des systèmes ayant comme espace d'état un espace d'Hilbert est franchie dans l'article [G11]. Nous y proposons une approche de type quasi-tangence dans l'étude de la propriété de (presque)viabilité des systèmes semi-linéaires dans un cadre infini-dimensionnel. Nous avons essayé de rendre le manuscrit aussi autonome que possible. Pour en assurer la lisibilité, nous avons également essayé de garder l'indépendance des chapitres. Afin de garder une dimension raisonnable du manuscrit, nous avons fait le choix de limitation de la redondance. Pour cette raison, les problèmes de contrôle sous contraintes d'état ont été présentés uniquement dans le contexte stochastique. Aussi, les détails précis de la méthode de Zubov ont été spécifiés uniquement dans le cas des processus Markoviens déterministes par morceaux et les contributions aux diffusions Browniennes ont été seulement mentionnées