Valeurs extrêmes de mosaïques aléatoires

A random tessellation is a partition of the Euclidean space into polytopes that are called cells. Such a structure appears in many domains such as cellular biology, telecommunications and image segmentation. Many results were established on the typical cell i.e. a cell which is ''chosen uniformly'' in the tessellation. Nevertheless, these works do not reflect the regularity of the tessellation and the pathology of several cells (e.g. elongated or big cells). In this PhD thesis, we investigate the random tessellations by a new approach which is Extreme Value Theory. In practice, we observe the random tessellation in a window and we consider a geometrical characteristic (e.g. the volume, the number of vertices or the diameter of the cells). Our problem is to investigate the behaviour of the maximum and minimum (and more generally the order statistics) of this characteristic for the cells of the window when the size of the window tends to infinity. Such an approach leads to a better description of the regularity of the tessellation. It provides also some tools to investigate the quality of a discrete approximation between a set and the cells of a random tessellation. Another potential application field is the statistics of point processes. Our results concern mainly limit theorems on the extremes and order statistics of various geometrical characteristics and random tessellations. In particular, we provide the rates of convergence with some delicate geometric estimates. We derive an upper bound of the Hausdorff distance between a set and its so-called Poisson-Voronoi approximation from the investigation of the maximum of diameters. Besides, we deal with geometrical aspects such as boundary effects and shape of the optimizing cells. Finally, in order to study the repartition of the exceedance cells (i.e. cells with a large characteristic), we are interested by the convergence of underlying point processes and by the mean size of a cluster of exceedances. Our tools come from stochastic geometry (Palm measure, Slivnyak's formula, covering probabilities) and Extreme Value Theory (dependency graphs, Chen-Stein method, extremal index).Une mosaïque aléatoire est une partition aléatoire de l'espace euclidien en des polytopes appelés cellules. Ce type de structure apparaît dans divers domaines tels que la biologie cellulaire, les télécommunications et la segmentation d'images. Beaucoup de travail a déjà été effectué sur la cellule typique c'est-à-dire sur une cellule "choisie uniformément". Cependant, ces travaux ne tiennent pas compte de l'irrégularité de la mosaïque et d'éventuelles cellules pathologiques (par exemple, celles qui sont anormalement allongées ou anormalement grandes). Dans cette thèse, on étudie les mosaïques aléatoires par une approche inédite: celle des valeurs extrêmes. En pratique, on observe la mosaïque aléatoire dans une fenêtre et on considère une certaine caractéristique géométrique (comme le volume, le nombre de sommets ou le diamètre des cellules). Le problème de base est d'étudier le comportement du maximum et du minimum, voire des statistiques d'ordre, de cette caractéristique pour toutes les cellules de la fenêtre lorsque la taille de celle-ci tend vers l'infini. Une telle approche permet non seulement de mieux comprendre la régularité de la mosaïque mais aussi d'étudier la qualité d'une approximation discrète d'un ensemble par des cellules d'une mosaïque aléatoire. Cette approche pourrait également fournir une piste inédite pour discriminer les processus ponctuels. Les résultats de cette thèse portent principalement sur des théorèmes limites des extrêmes et des statistiques d'ordre pour diverses caractéristiques géométriques et diverses mosaïques aléatoires. En particulier, on obtient des vitesses de convergence en établissant de fines estimations géométriques. On déduit de l'étude du maximum des diamètres une majoration de la distance de Hausdorff entre un ensemble et son approximation dite de Poisson-Voronoï. On traite, notamment, de plusieurs aspects géométriques comme les problèmes de bord et la forme des cellules optimisantes. Enfin, dans le but de savoir comment se répartissent les cellules excédentes (celles dont la caractéristique est grande), on s'intéresse à la convergence de processus ponctuels associés et à la taille moyenne d'un cluster d'excédents. Les outils utilisés sont issus à la fois de la géométrie aléatoire (mesure de Palm, probabilités de recouvrement, formule de Slivnyak) et de la théorie des valeurs extrêmes (graphes de dépendance, méthode de Chen-Stein, indice extrême)