Trajectoires rugueuses, processus gaussiens et applications

Les principaux thèmes de cette thèse sont la théorie des trajectoires rugueuses développée par T. Lyons (1998) et ses applications, notamment à l'étude d'équations différentielles stochastiques (EDS) et au calcul de sensibilités. Des applications potentielles des résultats théoriques en science du vivant et en finance y sont également développées. En premier lieu, sont étendues l'existence et l'expression des grecques Delta et Véga, sensibilités bien connues en finance, au cas d'EDS à coefficients bornés et dirigées par un processus gaussien multidimensionnel centré, à trajectoires continues, au-dessus duquel il existe une trajectoire géométrique naturelle. Le cas du mouvement brownien fractionnaire a particulièrement été développé afin de proposer d'une part, une application du calcul de Véga dans un modèle de marché financier à volatilité stochastique fractionnaire et d'autre part, d'effectuer des simulations. En second lieu, est étudiée une généralisation d'équation mean-reverting au cas d'un signal gaussien unidimensionnel, centré et à trajectoires continues : existence globale et unicité de la solution, intégrabilité, continuité et différentiabilité de l'application d'Itô, existence d'un schéma d'approximation convergeant, principe de grandes déviations, et existence d'une densité de la solution par rapport à la mesure de Lebesgue. L'étude de cette famille d'EDS a débouché sur une application en pharmacocinétique