Approches duales dans la résolution de problèmes stochastiques

The global purpose of this thesis is to study the conditions to extend analytical and algebraical properties commonly observed in the resolution of deterministic combinatorial problems to the corresponding stochastic formulations of these problems. Two distinct situations are treated : discrete combinatorial stochastic problems and continuous stochastic problems. Discrete situation is examined with the Two Stage formulation of the Maximum Weight Covering Forest. The well known corresponding deterministic formulation shows the connexions between the rank function of a matroid, the greedy algorithm , and the dual formulation. The discrete stochastic formulation of the Maximal Covering Forest is turned into a deterministic equivalent formulation, but, due to the number of scenarios, the associated dual is not complete. The work of this thesis leads to understand in which cases the dual formulation still has the same value as the primal integer formulation. Usually, classical combinatorial approaches aim to find particular configurations in the graph, as circuits, in order to handle possible reconfigurations. For example, slight modifications of the weights of the edges might change considerably the configuration of the Maximum Weight Covering Forest. This can be seen as an obstacle to handle pure combinatorial proofs. However, some global relevant quantities, like the global weight of the selected edges during the greedy algorithm, have a continuous variation in function of slight modifications. We introduce some functions in order to outline these continuous variations. And we state in which cases Primal integral problems have the same objective values as dual formulations. When it is not the case, we propose an approximation method and we examine the NP completeness of this problem.Continuous stochastic problems are presented with the stochastic Knapsack with chance constraint. Chance constraint and dual Lagrangian formulation are adapted in the case where the expected probability of not exceeding the knapsack capacity is close to 1. The introduced model consists in items whose costs and rewards follow normal distributions. In our case, we try to apply direct gradient methods without reformulating the problem into geometrical terms. We detail convergence conditions of gradient based methods directly on the initial formulation. This part is illustrated with numerical tests on combinatorial instances and Branch and Bound evaluations on relaxed formulations.Le travail général de cette thèse consiste à étendre les outils analytiques et algébriques usuellement employés dans la résolution de problèmes combinatoires déterministes à un cadre combinatoire stochastique. Deux cadres distincts sont étudiés : les problèmes combinatoires stochastiques discrets et les problèmes stochastiques continus. Le cadre discret est abordé à travers le problème de la forêt couvrante de poids maximal dans une formulation Two-Stage à multi-scénarios. La version déterministe très connue de ce problème établit des liens entre la fonction de rang dans un matroïde et la formulation duale, via l'algorithme glouton. La formulation stochastique discrète du problème de la forêt maximale couvrante est transformée en un problème déterministe équivalent, mais du fait de la multiplicité des scénarios, le dual associé est en quelque sorte incomplet. Le travail réalisé ici consiste à comprendre en quelles circonstances la formulation duale atteint néanmoins un minimum égal au problème primal intégral. D'ordinaire, une approche combinatoire classique des problèmes de graphes pondérés consiste à rechercher des configurations particulières au sein des graphes, comme les circuits, et à explorer d'éventuelles recombinaisons. Pour donner une illustration simple, si on change d'une manière infinitésimale les valeurs de poids des arêtes d'un graphe, il est possible que la forêt couvrante de poids maximal se réorganise complètement. Ceci est vu comme un obstacle dans une approche purement combinatoire. Pourtant, certaines grandeurs analytiques vont varier de manière continue en fonction de ces variations infinitésimales, comme la somme des poids des arêtes choisies. Nous introduisons des fonctions qui rendent compte de ces variations continues, et nous examinons dans quels cas les formulations duales atteignent la même valeur que les formulations primales intégrales. Nous proposons une méthode d'approximation dans le cas contraire et nous statuons sur la NP complétude de ce type de problème.Les problèmes stochastiques continus sont abordés via le problème de sac à dos avec contrainte stochastique. La formulation est de type "chance constraint", et la dualisation par variable lagrangienne est adaptée à une situation où la probabilité de respecter la contrainte doit rester proche de 1. Le modèle étudié est celui d'un sac à dos où les objets ont une valeur et un poids déterminés par des distributions normales. Dans notre approche, nous nous attachons à appliquer des méthodes de gradient directement sur la formulation en espérance de la fonction objectif et de la contrainte. Nous délaissons donc une possible reformulation classique du problème sous forme géométrique pour détailler les conditions de convergence de la méthode du gradient stochastique. Cette partie est illustrée par des tests numériques de comparaison avec la méthode SOCP sur des instances combinatoires avec méthode de Branch and Bound, et sur des instances relaxées