Quelques problèmes d'écoulement multi-fluide : analyse mathématique, modélisation numérique et simulation.

This thesis contains three independent parts. The first part presents a proof of existence of weak global solutions to a Vlasov-incompressible-Navier-Stokes system with variable density. This system is obtained formally from a classical Vlasov-incompressible-Navier-Stokes model with fragmentation for which only two values for the particules radii are considered: a radius r1 for non fragmented particules and a smaller radius r2 for particules created by fragmentation. The asymptotic model is obtained in the limit r2 vanishing. The second part deals with the modeling of a wave impact on a rigid wall. The purpose of our work is to study and model the escape of the gas between the liquid and the wall. In the numerical model we have replaced the liquid wave with a solid mass, and developed an ALE-VFFC code for the numerical simulation of the system. Scaling the system of equations allows us to obtain the dimensionless numbers governing the escape phenomena. The mean escape velocity is compared to the velocity in the case of incompressible gas. Finally, a parametric study with respect to the dimensionless numbers is carried out. We present in the third part the principles of the coupling between an efficient numerical method for hyperbolic systems (and non conservative equations arising in multiphase flows), namely the FVCF scheme, on the one hand; and a particle method for the Vlasov-Boltzmann equation (of PIC-DSMC type), on the other hand. Numerical results illustrating this coupling are shown for a problem involving a spray (droplets inside an underlying gas) in a pipe which is modeled by a 1D fluid-kinetic system.La présente thèse comporte trois parties indépendantes. La première partie présente une preuve d'existence de solutions faibles globales pour un modèle de sprays de type Vlasov-Navier-Stokes-incompressible avec densité variable. Ce modèle est obtenu par une limite formelle à partir d'un modèle Vlasov-Navier-Stokes-incompressible avec fragmentation, où seules deux valeurs de rayons de particules sont considérées : un rayon r1 pour les particules avant fragmentation, et un rayon r2 plus petit pour les particules obtenues par fragmentation. Le modèle asymptotique est obtenu dans la limite r2 tendant vers zéro. La démonstration s'appuie sur des techniques de régularisation et de troncature en vitesse, sur le théorème de Schauder et enfin sur une méthode de compacité de Lions-Di-Perna pour l'élimination des régularisations introduites dans le système initial. La deuxième partie concerne la modélisation de l'impact d'une vague de liquide sur une paroi. L'objectif de cette partie est d'obtenir un modèle pour la fuite du gaz environnant sur les "côtés" de la vague. Un modèle numérique est réalisé en remplaçant la vague liquide par une masse solide indéformable et un schéma VFFC-ALE est conçu pour la simulation numérique du modèle. La mise sans dimension des équations permet de montrer les nombres sans dimension qui régissent le phénomène de fuite. La vitesse moyenne de fuite est comparée à la vitesse dans le cas d'un fluide incompressible (pour lequel on a une expression exacte). Enfin, via la simulation numérique, une étude paramétrique est réalisée en fonction des nombres sans dimensions. Dans la troisième partie on présente une méthode numérique pour la simulation d'un modèle Vlasov-Boltzmann-Euler pour les sprays. Cette méthode couple le schéma VFFC à la méthode PIC (Particle In Cell). Les résultats présentés concernent l'écoulement d'un spray dans un pipeline courbe qu'on modélise par un système Vlasov-Boltzmann-Euler quasi-1D