Un relèvement d'une structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky sur la double construction cobar

In a first part we establish some structural results on the cobar construction. The goal is to obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction. We provide a criterion for obtaining a homotopy BV-algebra (à la Gerstenhaber-Voronov) on the double cobar construction Ω²C(X) of homotopy G-coalgebra C. This involves the structural co-operations of the homotopy G-coalgebra C. In a second part, we apply the previous criterion to the homotopy G-coalgebra C(X). The homotopy G-coalgebra structure that we consider on the simplicial chain complex C(X) is such that the resulting double cobar construction Ω²C(X) is a model for the double loop space Ω²|X|. We obtain a BV-algebra structure on Ω²C(X) when X is a double suspension. We give comparison results between this BV-algebra structure on Ω²C(X) and the BV-algebra structure on H(Ω²C(X)) that is given by the diagonal action of the circle. Finally, when Q is the coefficient ring, we deform the Hopf dg-algebra structure on the Baues cobar construction ΩC(X) into an involutive Hopf dg-algebra structure (∇, S). Then we obtain a homotopy BV-algebra structure on the double cobar construction Ω(C(X), ∇, S) for any simplicial set X.Dans une première partie, on établit des résultats structuraux sur la construction cobar, visant à obtenir un relèvement homotopique explicite d'une structure de BV-algèbre sur la double construction cobar. Ces résultats interviennent à différentes itérations de la construction cobar. En conclusion, nous obtenons par descente de structures, un critère à l'obtention d'une structure de BV-algèbre homotopique (à la Gerstenhaber-Voronov) sur la double construction cobar Ω²C d'une G-cogèbre homotopique C, ceci en terme de co-opérations structurelles de C. Dans une seconde partie, nous appliquons le critère précédent sur la G-cogèbre homotopique C(X), où C(X) est le complexe de chaînes simpliciales sur un ensemble simplicial X. La structure de G-cogèbre homotopique considérée sur C(X) est telle que la double construction cobar Ω²C(X) est un modèle pour les lacets doubles Ω²|X|. Nous donnons ensuite des résultats de comparaisons entre la structure d'algèbre de Batalin-Vilkovisky obtenue sur la double construction cobar Ω²C(X) lorsque X est une double suspension et celle sur l'homologie H(Ω²|X|) induite par l'action diagonale du cercle sur Ω²|X|. Pour finir, lorsque l'anneau des coefficients est Q, nous déformons la structure de dg-algèbre de Hopf sur la construction cobar de Baues ΩC(X) en une structure de dg-algèbre de Hopf involutive (∇, S). On obtient alors une structure de BV-algèbre homotopique sur la double construction cobar Ω(ΩC(X), ∇, S) pour tout ensemble simplicial X