Développement stochastique pour les processus de diffusion et applications à la valorisation d'options

This thesis deals with the approximation of the expectation of a functional (possibly depending on the whole path) applied to a diffusion process (possibly multidimensional). The motivation for this work comes from financial mathematics where the pricing of options is reduced to the calculation of such expectations. The rapidity for price computations and calibration procedures is a very strong operational constraint and we provide real-time tools (or at least more competitive than Monte Carlo simulations in the case of multidimensional diffusions) to meet these needs. In order to derive approximation formulas, we choose a proxy model in which analytical calculus are possible and then we use stochastic expansions around the proxy model and Malliavin calculus to approach the quantities of interest. In situation where Malliavin calculus can not be applied, we develop an alternative methodology combining Itô calculus and PDE arguments. All the approaches (from PDEs to stochastic analysis) allow to obtain explicit formulas and tight error estimates in terms of the model parameters. Although the final result is generally the same, the derivation can be quite different and we compare the approaches, first regarding the way in which the corrective terms are made explicit, second regarding the error estimates and the assumptions used for that. We consider various classes of models and functionals throughout the four Parts of the thesis. In the Part I, we focus on local volatility models and provide new price, sensitivity (delta) and implied volatility approximation formulas for vanilla products showing an improving accuracy in comparison to previous known formulas. We also introduce new results concerning the pricing of forward start options. The Part II deals with the analytical approximation of vanilla prices in models combining both local and stochastic volatility (Heston type). This model is very difficult to analyze because its moments can explode and because it is not regular in the Malliavin sense. The error analysis is original and the idea is to work on an appropriate regularization of the payoff and a suitably perturbed model, regular in the Malliavin sense and from which the distance with the initial model can be controlled. The Part III covers the pricing of regular barrier options in the framework of local volatility models. This is a difficult issue due to the indicator function on the exit times which is not considered in the literature. We use an approach mixing Itô calculus, PDE arguments, martingale properties and temporal convolutions of densities to decompose the approximation error and to compute correction terms. We obtain explicit and accurate approximation formulas under a martingale hypothesis. The Part IV introduces a new methodology (denoted by SAFE) for the efficient weak analytical approximation of multidimensional diffusions in a quite general framework. We combine the use of a Gaussian proxy to approximate the law of the multidimensional diffusion and a local interpolation of the terminal function using Finite Elements. We give estimates of the complexity of our methodology. We show an improved efficiency in comparison to Monte Carlo simulations in small and medium dimensions (up to 10).Cette thèse est consacrée à l'approximation de l'espérance d'une fonctionnelle (pouvant dépendre de toute la trajectoire) appliquée à un processus de diffusion (pouvant être multidimensionnel). La motivation de ce travail vient des mathématiques financières où la valorisation d'options se réduit au calcul de telles espérances. La rapidité des calculs de prix et des procédures de calibration est une contrainte opérationnelle très forte et nous apportons des outils temps-réel (ou du moins plus compétitifs que les simulations de Monte Carlo dans le cas multidimensionnel) afin de combler ces besoins. Pour obtenir des formules d'approximation, on choisit un modèle proxy dans lequel les calculs analytiques sont possibles, puis nous utilisons des développements stochastiques autour de ce modèle proxy et le calcul de Malliavin afin d'approcher les quantités d'intérêt. Dans le cas où le calcul de Malliavin ne peut pas être appliqué, nous développons une méthodologie alternative combinant calcul d'Itô et arguments d'EDP. Toutes les approches (allant des EDPs à l'analyse stochastique) permettent d'obtenir des formules explicites et des estimations d'erreur précises en fonction des paramètres du modèle. Bien que le résultat final soit souvent le même, la dérivation explicite du développement peut être très différente et nous comparons les approches, tant du point de vue de la manière dont les termes correctifs sont rendus explicites que des hypothèses requises pour obtenir les estimées d'erreur. Nous considérons différentes classes de modèles et fonctionnelles lors des quatre Parties de la thèse. Dans la Partie I, nous nous concentrons sur les modèles à volatilité locale et nous obtenons des nouvelles formules d'approximation pour les prix, les sensibilités (delta) et les volatilités implicites des produits vanilles surpassant en précision les formules connues jusque-là. Nous présentons aussi des nouveaux résultats concernant la valorisation des options à départ différé. La Partie II traite de l'approximation analytique des prix vanilles dans les modèles combinant volatilité locale et stochastique (type Heston). Ce modèle est très délicat à analyser car ses moments ne sont pas tous finis et qu'il n'est pas régulier au sens de Malliavin. L'analyse d'erreur est originale et l'idée est de travailler sur une régularisation appropriée du payoff et sur un modèle habilement modifié, régulier au sens de Malliavin et à partir duquel on peut contrôler la distance par rapport au modèle initial. La Partie III porte sur la valorisation des options barrières régulières dans le cadre des modèles à volatilité locale. C'est un cas non considéré dans la littérature, difficile à cause de l'indicatrice des temps de sorties. Nous mélangeons calcul d'Itô, arguments d'EDP, propriétés de martingales et de convolutions temporelles de densités afin de décomposer l'erreur d'approximation et d'expliciter les termes correctifs. Nous obtenons des formules d'approximation explicites et très précises sous une hypothèse martingale. La Partie IV présente une nouvelle méthodologie (dénotée SAFE) pour l'approximation en loi efficace des diffusions multidimensionnelles dans un cadre assez général. Nous combinons l'utilisation d'un proxy Gaussien pour approcher la loi de la diffusion multidimensionnelle et une interpolation locale de la fonction terminale par éléments finis. Nous donnons une estimation de la complexité de notre méthodologie. Nous montrons une efficacité améliorée par rapport aux simulations de Monte Carlo dans les dimensions petites et moyennes (jusqu'à 10)