Équations différentielles stochastiques : résolubilité forte d'équations singulières dégénérées ; analyse numérique de systèmes progressifs-rétrogrades de McKean-Vlasov

This thesis deals with two subjects: the strong well-posedness of stochastic differential equations with Hölder drift and hypoelliptic noise and the simulation of decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type. In the first work, we study a class of degenerate system with hypoelliptic noise. We prove that strong well-posedness holds for this system when the drift is only H\"{o}lder, with Hölder exponent larger than the critical value 2/3. This work extends to the degenerate setting the earlier results obtained by Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) and Krylov and Röckner (2005). The existence of a threshold for the Hölder exponent in the degenerate case may be understood as the price to pay to balance the degeneracy of the noise. Our proof relies on regularization properties of the associated PDE, which is degenerate in the current framework and is based on a parametrix method. In the second work, we propose a new algorithm to approach weakly the solution of a McKean-Vlasov stochastic differential equation. Based on the cubature method, the algorithm is deterministic differing from the usual methods based on interacting particles. It can be parametrized in order to obtain a given order of convergence. Then, we construct implementable algorithms to solve decoupled forward backward stochastic differential equations of McKean-Vlasov type, which appear in some stochastic control problems in a mean field environment. We give two algorithms and show that they have convergence of orders one and two under appropriate regularity conditions.Cette thèse traite de deux sujets: la résolubilité forte d'équations différentielles stochastiques à dérive hölderienne et bruit hypoelliptique et la simulation de processus progressifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov. Dans le premier cas, on montre qu'un système hypoelliptique, composé d'une composante diffusive et d'une composante totalement dégénérée, est fortement résoluble lorsque l'exposant de la régularité Hölder de la dérive par rapport à la composante dégénérée est strictement supérieur à 2/3. Ce travail étend au cadre dégénéré les travaux antérieurs de Zvonkin (1974), Veretennikov (1980) et Krylov et Röckner (2005). L'apparition d'un seuil critique pour l'exposant peut-être vue comme le prix à payer pour la dégénérescence. La preuve repose sur des résultats de régularité de la solution de l'EDP associée, qui est dégénérée, et est basée sur une méthode parametrix. Dans le second cas, on propose un algorithme basé sur les méthodes de cubature pour la simulation de processus progessifs-rétrogrades découplés de McKean-Vlasov apparaissant dans des problèmes de contrôle dans un environnement de type champ moyen. Cet algorithme se divise en deux parties. Une première étape de construction d'un arbre de particules, à dynamique déterministe, approchant la loi de la composante progressive. Cet arbre peut être paramétré de manière à obtenir n'importe quel ordre d'approximation (en terme de pas de discrétisation de l'intervalle). Une seconde étape, conditionnelle à l'arbre, permettant l'approximation de la composante rétrograde. Deux schémas explicites sont proposés permettant un ordre d'approximation de 1 et 2