Génération des conditions d'existence d'une classe de systèmes de solides surcontraints avec les bases de Gröbner

In mechanical kinematics analysis, no generic method allows to generate symbolic assembly conditions for mechanisms with rigid bodies (especially for overconstrained mechanisms). However, many formulas can help to compute mobility. Kutzbach, Grübler and Tchebitcheff are associated to different formulas but none of them works in every case. For this reason, we propose generic numerical and symbolic methods in order to obtain assembly and mobility conditions from closed-loop equations. The numerical and symbolic methods presented in this thesis have the same starting point. They both use Denavit-Hartenberg parameters. These parameters are divided into two types : the first is called u, representing geometric dimensions of rigid bodies ; the second type is called m (for parameters of mobility), representing the relative motion between two rigid bodies in contact. First of all, closed-loop equation are written using a coordinate free method based on Gram matrix. After this step, the two methods differ. In case of numerical analysis, the system of equations is linearized. The Singular Value Decomposition is used to eliminate parameters. We then compute assembly conditions in the neighborhood of the initial configuration. Mobility conditions are computed based on assembly conditions which result from a finite number of configurations. In case of symbolic analysis, we calculate the Gröbner basis associated with closed-loop equations in order to eliminate parameters of mobility. There are few references talking about the application of Gröbner basis in kinematics analysis. None of these references provides a well explained analysis of kinematics problem. Since we have been collaborating with Mr. Faugère, we use the package “FGb” for the elimination of parameters of mobility. With a specified order, relations between the u parameters could be computed by eliminating the m parameters. When verified, these relations are assembly conditions, also named over-constrained assembly conditions. This set of relations may be empty when the studied system is iso-constrained. To generate mobility conditions, one has to keep all u parameters and only one parameter of mobility. When mobility parameter’s coefficients vanish, the mechanism is mobile with 1 degree of freedom. To determine two kinds of conditions, we propose also two tools : saturation and constraint. They allow browsing a subset of system’s solutions which is represented by a Gröbner basis. Since our results are identical to the ones found in literature, our method is valid and complete.En cinématique il n'existe aucune méthode permettant de générer les conditions d'assemblage sous forme symbolique pour les systèmes de solides, éventuellement surcontraints. En revanche il existe un grand nombre de formules permettant- en principe - de calculer la mobilité. Les noms de Kutzbach, Grübler et Tchebytcheff sont associés à différentes formules bien connues mais aucune formule infaillible n'a jamais été trouvée. C'est ce qui motive notre proposition de méthodes numériques et symboliques constructives. Celles-ci permettent de générer automatiquement les conditions d'assemblage et de mobilité à partir de la connaissance des équations de fermeture des boucles de solides. Les méthodes numérique et symbolique présentées dans cette thèse se basent sur un socle commun. Elles utilisent les paramètres de Denavit-Hartenberg et les classent en deux catégories: la première catégorie, notée u pour usinage, représente les dimensions géométriques des solides, la seconde, notée m pour mobilité, représente les paramètres de position relative de deux solides en contact. Ensuite, les équations de fermeture sont obtenues par une méthode ``coordinate free'' à partir d'une matrice de Gram. C'est à cette étape que les deux méthodes diffèrent. Dans le cas de l'analyse numérique locale, le système d'équations est linéarisé. La décomposition en valeur singulière est utilisée pour l'élimination des paramètres. Nous obtenons ensuite les conditions d'assemblage dans un voisinage de la configuration initiale. Les conditions de mobilité sont calculées à partir des conditions d'assemblage issues d'un nombre fini de configurations. Dans le cas de l'analyse symbolique, nous calculons formellement la base de Gröbner associée aux équations de fermeture et cela grâce à l'algorithme FGb de Faugère. Il existe peu de références sur l'utilisation des Bases de Gröbner en cinématique, et aucune ne présente une analyse exhaustive du problème. Avec l'ordre lexicographique, nous ne gardons que des paramètres u et éliminons tous les autres. Lorsque ces relations en u sont vérifiées, elles représentent les conditions d'assemblage, dites relations de surcontraintes. Cet ensemble peut être vide lorsque le système est isocontraint. Pour générer les conditions de mobilité, nous gardons tous les u et un paramètre de mobilité. En annulant les coefficients en facteur de ce paramètre de mobilité, un nouveau système qui ne dépend que de u est construit. Les conditions de mobilité sont obtenues en calculant la base de Gröbner du nouveau système. Pour atteindre les résultats désirés, nous avons également proposé deux outils: saturation et contrainte. Ils permettent de parcourir un sous-ensemble de solutions représentées par une base de Gröbner. La confrontation des résultats obtenus dans la thèse avec ceux de la littérature, pour quelques de mécanismes connus, permet d'affirmer la validité et la complétude de la méthode