Sur les applications du cercle avec un intervalle plat et flots de Cherry

The principal purpose of this thesis is to give a complete description of the dynamics of a class L of circle maps of degree one, supposed to be (two times differentiable) C^2 everywhere with the exception of two points where the maps are continuous. Moreover the maps are constant on any of the two intervals delimited by this two points. In particular, on a half open neighborhood of this two points the maps can be written as an x^l where the real positive number l is called the critical exponent of the function. In Chapter 2 we prove the existence of a global phase transition when the critical exponent passes through l = 2, for functions of L with rotation number of bounded type. The more general case of function in L with rotation number of unbounded type is studied in Chapter 3. In this case it becomes more delicate to make conjectures ; in fact it often hides surprises due to the presence of underlying parabolic phenomena. Moreover, our results on circle maps give us the opportunity to study the interesting theory of Cherry flows (Chapter 4). In particular we construct an example of such a flow with a metrically non-trivial quasi-minimal set and we give a complete description on the physical measures for this kind of flows. In Chapter 5 we construct a Denjoy counterexample which is a (smooth) C^∞ diffeomorphism away from a half-critical point.Dans cette thèse nous donnons une description complète de la dynamique d’une classe L de fonctions de degré un du cercle, supposées de classe (deux fois dérivable) C^2 à l’exception de deux points où seule la continuité est exigée, et telles qu’elles soient constantes sur un des intervalles délimité par ces derniers. De plus sur des demi-voisinages ouverts de ces points elles s’écrivent sous la forme x^l où l est un nombre réel positif appelé l’exposant critique de la fonction. Dans le chapitre 2 nous montrons pour la sous-classe de L des fonctions dont le nombre de rotation est de type borné, l’existence d’une transition dans la géométrie du système lorsque l’exposant critique traverse 2. Le cas plus général de fonctions en L avec nombre de rotation infinie est considéré dans le chapitre 3. Il devient pourtant plus délicat d’émettre des conjectures ; on rencontre parfois des surprises dues à laprésence de phénomènes paraboliques. De plus, nos résultats sur les applications du cercle nous permettent d’étudier l’intéressante théorie des flots de Cherry (chapitre 4). En particulier, on construit un exemple de tel flot qui a ensemble quasi-minimale métriquement non trivial. Nous donnons également une description complète des mesures physiques sur ce flot. Dans le chapitre 5 nous construisons un contrexemple de Denjoy qui est un difféomorphisme (indéfiniment dérivable) C^∞ partout sauf dans un point qui est demi-critique plat pour la fonction