Equations aux dérivées partielles à conditions initiales aléatoires

This thesis is about Hamiltonian partial differential equations with random initial data. Indeed, the evolution of particular measures are studied here through the flow of such equations. This study is done along two axis.First, the global well-posedness with initial data with low regularity is considered for the non linear wave equation. The initial datum is a random variable and the global well-posedness is obtained almost surely wrt the measure induced by this variable. The low regularity refers to the space which the values of the random initial datum belong to and means a regularity under the one given by deterministic theory.Some properties of invariance of the law of the initial datum are required in the proof of the global well-posedness under certain conditions. Hence, the second axis is the invariance of measures through the flow of PDEs and their stability.An invariant law is given for the cubic non linear wave equation and for the Benjamin-Bona-Mahony equation (BBM). The invariant measure for BBM is such that the amplitudes associated to each wavelength of the solution are random variables independent from each other. The stability of the invariance for BBM is considered when one adds correlations between these amplitudes.Finally, inspired by the Physics literature about wave turbulence, the stability of the independence between the amplitudes is investigated about. Namely, we tried to know if the covariances of the amplitudes remain small when they are initially independent and when the quadratic term of the energy associated to the equation is small compared to the total energy.Cette thèse porte sur des équations aux dérivées partielles hamiltoniennes à conditions initiales aléatoires. En effet, on étudie ici l'évolution de certaines mesures à travers le flot de telles équations. Cette étude suit deux axes.Premièrement, on considère le caractère globalement bien posé de l'équation d'onde non linéaire quand la donnée initiale est de faible régularité. Cette donnée initiale est une variable aléatoire et on obtient le caractère globalement bien posé de façon presque sûre par rapport à la mesure induite par cette variable. La faible régularité fait référence à l'espace auquel appartient les valeurs de la variable aléatoires et dénote une régularité moins contraignante que celle requise par la théorie déterministe.Dans certaines conditions, des propriétés d'invariance de la loi de la donnée initiale sont nécessaires à la démonstration du caractère bien posé. C'est pourquoi le deuxième axe comprend la question de l'invariance de mesures et leurs stabilités à travers le flot d'EDPs.On donne ainsi une loi invariante à travers le flot de l'équation d'onde cubique et une autre à travers celui de l'équation de Benjamin-Bona-Mahony (BBM). la mesure invariante pour BBM est telle que les amplitudes associées à chaque longueur d'onde de la solution sont des variables aléatoires indépendantes les unes des autres. On considère alors la stabilité de l'invariance pour BBM lorsqu'on ajoute des corrélations entre ces amplitudes.Enfin, en s'inspirant de la littérature physique à propos de la turbulence faible, on s'est demandé ce qu'il advenait de l'indépendance entre les amplitudes dans un contexte plus général. Plus précisément, on a cherché à si les covariances des amplitudes restent petites lorsque celles-ci sont initialement indépendantes et que le terme non quadratique de l'énergie associée à l'équation étudiée est très petit devant l'énergie totale