Analyse et approximation numérique de systèmes d'interaction fluide-structure et de modèles de champ-de-phase

This manuscript is composed of two parts. The first part deals with the numerical analysis of approximation methods of fluid-structure interaction systems and with associated optimal control problems. Convergence results with error estimates for numerical schemes are obtained for a system of a rigid body immersed in an incompressible viscous fluid. The numerical schemes are based on approximation methods of Lagrange-Galerkin type with specific characteristic functions for the displacement of the solid structures. Numerical simulations are performed for rigids and deformable structures with a particular application to fish-like swimming viewed as a self-propeled phenomenon. The optimal control problem considered is a minimal time control problem for the swimming at low Reynolds number.The second part of the manuscript is concerned with the analysis and the numerical analysis of phase-field models for phase transitions (solidification and phase separation). Existence and uniqueness results for isothermal solidification and phase separation models have been obtained. Finite Elements approximations are also analyzed with a priori and a posteriori error estimates.Ce manuscrit est composé de deux parties. La première partie porte d'une part sur l’analyse numérique de méthodes d’approximations de systèmes d’interaction fluide-structure et d'autre part, sur des questions associées de contrôle optimal. Des résultats de convergence de schémas numériques et d’analyse d’erreurs sont obtenus pour une structure rigide immergée dans un fluide visqueux incompressible. Les schémas numériques étudiés sont basés sur des méthodes d’approximation de type Lagrange-Galerkin avec des fonctions caractéristiques spécifiques pour gérer les structures solides. Des simulations numériques sont réalisées pour des structures rigides et déformables, avec en particulier une application à la nage de poissons considérée comme un phénomène d’auto-propulsion. Les questions de contrôle optimal sont relatives à un problème de contrôle en temps minimal pour la nage à bas nombre de Reynolds. La deuxième partie du manuscrit concerne l’analyse et l’analyse numérique de modèles de champ-de-phase pour des problèmes de transitions de phase (solidification et séparation de phases). Des résultats d'existence et d’unicité de solutions pour des modèles de solidification isotherme et de séparation de phases ont été obtenus. Des méthodes d’approximation par Eléments Finis sont étudiées avec des estimations d’erreurs a priori et a posteriori