Propagation non-linéaire de paquets d'onde

This thesis is devoted to the study of coupled nonlinear Schrödinger equations in the semi-classical limit $\varepsilon \rightarrow 0$. Depending on the potential we consider, the system can present a linear coupling, in addition to the nonlinear one. We will focus on the propagation of coherent states that will be polarized along a given eigenvector of the potential. In the linear setting, several situations have been analyzed; some of them lead to adiabatic theorems whereas the others imply transitions between energy levels. When one adds a nonlinearity, understanding nonlinear effects on the propagation and the competition between them and the linear coupling becomes a very interesting issue.We first consider a potential with eigenvalues that present a spectral gap and will prove an adiabatic theorem for a critical nonlinearity in the semi-classical sense. This is a $L^2-$supercritical result, similar to the one proved by Carles and Fermanian-Kammerer for the one-dimensional case, which is $L^2-$subcritical.The second part of the thesis deals with an explicit $2 \times 2$ potential that presents an avoided crossing point : the minimal gap between its eigenvalues becomes smaller as $\varepsilon$ tends to zero. We will prove that this system exhibits transitions between the modes. This result is a nonlinear version of the study performed by Hagedorn and Joye in the linear case.Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude, dans la limite semi-classique $\varepsilon \rightarrow 0$, de systèmes d'équations de Schrödinger non-linéaires couplées. Selon le potentiel considéré, le système peut, ou non, présenter un couplage linéaire, en plus de celui induit par le terme non-linéaire. Dans ce manuscrit, c'est la propagation d'états cohérents - états localisés dans l'espace des phases, et que l'on va faire vivre dans un niveau d'énergie donné - qui va nous intéresser. Dans le cadre linéaire, plusieurs situations ont été étudiées, certaines préservant l'adiabaticité, et d'autres la brisant, faisant apparaître des transitions entre les niveaux d'énergie. Le rôle de la non-linéarité et l'interaction de ses effets avec un éventuel couplage linéaire sur ces phénomènes est une question importante pour comprendre des systèmes qui entrent en jeu dans des problèmes très actuels en physique quantique.Dans un premier temps, le potentiel pris en compte aura des valeurs propres bien séparées par un trou spectral, et nous montrerons un théorème adiabatique pour une non-linéarité qui présente un exposant critique pour le paramètre semi-classique devant la non-linéarité. Un point de vue équivalent est de considérer des données petites de l'ordre d'une puissance positive du paramètre semi-classique.Il s'agit d'un résultat analogue à celui de Carles et Fermanian-Kammerer mais dans un cadre sur-critique $L^2$.Dans un deuxième temps, nous considèrerons, pour le cas unidimensionnel, un potentiel explicite de taille $2 \times 2$, qui présente un croisement évité : les deux valeurs propres sont séparées par un paramètre $\delta$ - paramètre adiabatique - qui va tendre vers zéro lorsque $\varepsilon$ va tendre vers zéro. Nous montrerons alors que des transitions entre les modes ont lieu. Il s'agit ici d'une version non-linéaire des travaux d'Hagedorn et Joye où une telle transition est démontrée pour des systèmes linéaires