Opérateurs discrets compatibles pour la discrétisation sur maillages polyédriques des équations elliptiques et de Stokes

This thesis presents a new class of spatial discretization schemes on polyhedral meshes, called Compatible Discrete Operator (CDO) schemes and their application to elliptic and Stokes equations. In CDO schemes, preserving the structural properties of the continuous equations is the leading principle to design the discrete operators. De Rham maps define the degrees of freedom according to the physical nature of fields to discretize. CDO schemes operate a clear separation between topological relations (balance equations) and constitutive relations (closure laws).Topological relations are related to discrete differential operators, and constitutive relations to discrete Hodge operators. A feature of CDO schemes is the explicit use of a second mesh, called dual mesh, to build the discrete Hodge operator. Two families of CDO schemes are considered: vertex-based schemes where the potential is located at (primal) mesh vertices, and cell-based schemes where the potential is located at dual mesh vertices (dual vertices being in one-to-one correspondence with primal cells).The CDO schemes related to these two families are presented and their convergence is analyzed. A first analysis hinges on an algebraic definition of the discrete Hodge operator and allows one to identify three key properties: symmetry, stability, and ℙ_0-consistency. A second analysis hinges on a definition of the discrete Hodge operator using reconstruction operators, and the requirements on these reconstruction operators are identified. In addition, CDO schemes provide a unified vision on a broad class of schemes proposed in the literature (finite element, finite element, mimetic schemes...).Finally, the reliability and the efficiency of CDO schemes are assessed on various test cases and several polyhedral meshesCette thèse présente une nouvelle classe de schémas de discrétisation spatiale sur maillages polyédriques, nommée Compatible Discrete Operator (CDO) et en étudie l'application aux équations elliptiques et de Stokes. La préservation au niveau discret des caractéristiques essentielles du système continu sert de fil conducteur à la construction des opérateurs. Les opérateurs de de Rham définissent les degrés de liberté en accord avec la nature physique des champs à discrétiser. Les équations sont décomposées de manière à différencier les relations topologiques (lois de conservation) des relations constitutives (lois de fermeture). Les relations topologiques sont associées à des opérateurs différentiels discrets et les relations constitutives à des opérateurs de Hodge discrets. Une particularité de l'approche CDO est l'utilisation explicite d'un second maillage, dit dual, pour bâtir l'opérateur de Hodge discret. Deux familles de schémas CDO sont ainsi considérées : les schémas vertex-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage (primal), et les schémas cell-based lorsque le potentiel est discrétisé aux sommets du maillage dual (les sommets duaux étant en bijection avec les cellules primales). Les schémas CDO associés à ces deux familles sont présentés et leur convergence est analysée. Une première analyse s'appuie sur une définition algébrique de l'opérateur de Hodge discret et permet d'identifier trois propriétés clés : symétrie, stabilité et ℙ_0-consistance. Une seconde analyse s'appuie sur une définition de l'opérateur de Hodge discret à l'aide d'opérateurs de reconstruction pour lesquels sont identifiées les propriétés à satisfaire. Par ailleurs, les schémas CDO fournissent une vision unifiée d'une large gamme de schémas de la littérature (éléments finis, volumes finis, schémas mimétiques…). Enfin, la validité et l'efficacité de l'approche CDO sont illustrées sur divers cas tests et plusieurs maillages polyédrique