Équations d'onde nonlinéaires de type Klein-Gordon : application à la théorie f(R) de la gravitation

This these is composed by two parts which are relatively independent to each other. In the first part an alternative theory of the gravitation, the so-called f(R) gravity, is studied. A first mathematical analysis is discussed on this theory, including the mathematical formulation of the Cauchy problem, the discussion on the choice of coupling, the mathematical formulation of the differential system. This system is four-order and highly involved. To establish the local well-posedness result, a series of transformations ans re-formulations is introduced and we finally arrived at a formulation, called the augmented conformal formulation with which we have managed to establish the local well-poseness theory.The second part is devoted to the analysis of a type of coupled wave and Klein-Gordon system. This kind of system arises naturally in many physical model, especially in the Einstein equation coupled with a real massive scalar field and the augmented conformal formulation of the f(R) gravity. The main difficulty to treat this type of system is the lack of symmetry: one of the conformal Killing vector filed of the linear wave operator, the scaling vector field S := t∂t+r∂r is not a conformal Killing vector field of the linear Klein-Gordon operator. To overpass this difficult, a new framework, called the hyperboloidal foliation method is introduced. With this framework we can encompass the wave equations and the Klein-Gordon equations in the same framework. This allowed us to establish a global well-posedness result for compactly supported, small amplitude initial data.Cette thèse est composée de deux parties qui sont relativement indépendantes l’un de l’autre. Dans la première partie,une autre théorie de la gravitation que l’on appelle la gravité de f(R), est étudiée. Une première analyse mathématique est discutée sur cette théorie, y compris la formulation mathématique du problème de Cauchy, la discussion sur le choix du couplage, et la formulation mathématique des équations différentielles. Ce système des équations différentielles est de quatrième ordre et très impliqué. Pour pouvoir établir l’existence locale, une série de transformations et reformulation et introduites. Elles nous amènent à une formulation que l’on l’appelle la formulation conforme augmenté. Avec cette formulation, l’existence locale est établie. La deuxième partie est consacrée à l’analyse d’un type de système non-linéaire composé des équations d’onde et équations de Klein-Gordon. Ce type de système apparaît naturellement dans de nombreux modèles physiques: le plus important, l’équation d’Einstein couplé avec un champ scalaire réel du massif et le système de la formulation conforme augmentée de la théorie de f(R). La difficulté principale est le manque de la symétrie: un des champs de vecteur de Killing conforme de l’opérateur d’onde, le champ de vecteur de scaling S := t∂ t +r∂ r, n’est pas un champ de vecteur de Killing conforme de l’opérateur de Klein Gordon. Pour franchir cette difficulté, un nouveau cadre, appelé la méthode de feuilletage hyperboloïdal, est introduit. Avec ce cadre, nous pouvons encadrer les équations d’onde et les équations de Klein-Gordon dans le même cadre. Cela nous permet d’établir un résultat d’existence globale pour les données initiales petites et localisées dans un compact