Sur les points réguliers et singuliers de la fonction du temps minimal

In this thesis, we study the regularity of the minimum time function $T$ for both linearand nonlinear control systems in Euclidean space.We first consider nonlinear problems satisfying Petrov condition. In this case, $T$ islocally Lipschitz and then is differentiable almost everywhere. In general, T fails to bedifferentiable at points where there are multiple time optimal trajectories and its differentiabilityat a point does not guarantee continuous differentiability around this point. Weshow that, under some regularity assumptions, the non-emptiness of proximal subdifferentialof the minimum time function at a point $x$ implies its continuous differentiability ona neighborhood of $x$. The technique consists of deriving sensitivity relations for the proximalsubdifferential of the minimum time function and excluding the presence of conjugatepoints when the proximal subdifferential is nonempty.We then study the regularity the minimum time function $T$ to reach the origin undercontrollability conditions which do not imply the Lipschitz continuity of $T$. Basing on theanalysis of zeros of the switching function, we find out singular sets (e.g., non - Lipschitzset, non - differentiable set) and establish rectifiability properties for them. The resultsimply further regularity properties of $T$ such as the SBV regularity, the differentiabilityand the analyticity. The results are mainly for linear control problems.Dans cette thèse, nous étudions la régularité de la fonction temps minimal à la fois pour les systèmes contrôllés linéaireet non linéaires, dans un espace euclidien.Nous considérons d'abord des problèmes non linéaires satisfaisant la condition de Petrov. Dans ce cas, la fonction du tempsminimal estlocalement Lipschitz et donc dérivable presque partout. En général, la fonction temps minimal n’est pas dérivableaux points où il y a plusieurs trajectoires optimales. De plus, la différentiabilité de la fonction temps minimalen un point ne garantit pas différentiabilité continue autour de ce point. Nousmontrons que, sous certaines hypothèses de régularité, le fait que sous-différentiel proximalede la fonction d'un minimum de temps à un point $x$ soit non-vide implique la différentiabilité continue de la fonction surun voisinage de $x$. La technique de preuve consiste à dériver les relations de sensibilité pour le sous-différentiel proximal de la fonction de temps minimum et à montrer l’absence de points conjugué lorsque le sous-différentiel proximal n’est pas vide.Nous étudions ensuite la régularité de la fonction minimum de temps pour atteindre l'origine sous des conditions de contrôlabilité qui n’impliquent pas la continuité de Lipschitz de la fonction. En analysant l’ensemble des zéros de la fonction de commutation, nous décrivons les ensembles singuliers (par exemple, ensemble non-Lipschitzou non-différentiable) et établissons des propriétés de rectifiabilité pour ces ensembles