Approximation creuses et de faible rang pour les fonctions multivariées: Applications en quantification d'incertitudes

Uncertainty quantification has been a topic of significant research in computational engineering since early worksin stochastic finite element method. Over past decades, several methods based on classical results in analysis and approximation theory have been proposed. However for problems involving high stochastic dimension, these methods are limited by the so called "curse of dimensionality" as the underlying approximation space increases exponentially with dimension. Resolution of these high dimensional problems "non intrusively" (where we cannot access or modify model source code), is indeed often difficult with only a partial information in the form of a few model evaluations. Given computation and time resource constraints, methods addressing these issues are needed. The present thesis exploits recent developments in low rank and sparse approximations to propose methods that take into account both low rank and sparsity structures of high dimensional functions and can thus provide sufficiently accurate approximation with few sample evaluations. The number of parameters to estimate in these sparse low rank tensor formats is linear in stochastic dimension with few non zero parameters that can be estimated efficiently by sparse regularization techniques. The proposed methods are integrated with clustering and classification approach for approximation of discontinuous and irregular functions.La quantification d'incertitudes est un sujet de recherche important dans la simulation numérique en ingénierie depuis les premiers travaux sur la méthode des éléments finis stochastiques. Ces dernières années, plusieurs méthodes basées sur des résultats classiques de la théorie de l'approximation et de l'analyse numérique ont été proposées. Cependant pour des problèmes de grande dimension stochastique, ces méthodes sont limitées par « la malédiction de la dimension » car l'espace d'approximation sous-jacent augmente exponentiellement avec la dimension stochastique. La résolution de ces problèmes de grande dimension de manière non intrusive, où nous ne pouvons pas avoir accès au modèle ou le modifier, est en effet souvent difficile à partir d'informations partielles sous forme de quelques évaluations du modèle. Étant données les contraintes de ressources de calcul et de temps, des approches répondant à ces challenges sont nécessaires. Cette thèse exploite les développements récents sur les méthodes d'approximation de faible rang et les méthodes d'approximation creuse pour proposer une méthode qui exploite à la fois la structure de faible rang et la parcimonie de fonctions de nombreux paramètres et qui peut fournir des approximations suffisamment précises à partir de peu d'évaluations. Le nombre de paramètres à estimer dans les formats de tenseur de faible rang creux est linéaire avec la dimension stochastique et avec peu de paramètres non nuls qui peuvent être estimés efficacement par des techniques de régularisation creuse. Les méthodes proposées sont intégrées à une technique de clustering et classification pour l'approximation de fonctions discontinues ou irrégulières