Reconstruction d’image : régularisation avec prise en compte des discontinuités.: Thèse de doctorat

This thesis deals with regularized image reconstruction. We seek images consisting of smoothregions separated by sharp edges, or discontinuities. This is called edge-preserving regularization. Thereconstructed image is found by minimizing an objective function, which we call the criterion.Firstly, we propose sufficient conditions for the design of an edge-preserving objective function. Then,we show that, under these conditions, it is possible to transform the criterion by introducing an auxiliaryvariable, which interacts with the main variable either in an additive or in a multiplicative way. The roleof the auxiliary variable is twofold: it marks discontinuities and facilitates the optimization of thecriterion. The augmented objective function is quadratic with respect to the main variable when theauxiliary variable is fixed, and convex with respect to the auxiliary variable when the main variable isfixed. Moreover, in the last case, we give the expression of the optimal value of the auxiliary variable.Secondly, we exploit the properties of such a half-quadratic regularization to design new reconstructionalgorithms. Our optimization strategy is based on alternated minimizations with respect to the auxiliaryand the main variable. This leads to two progressive discontinuity introduction algorithms: ARTUR andLEGEND. We propose a theoretical and practical study of these algorithms. We apply them totomographic reconstruction.ARTUR and LEGEND offer a good trade-off between computation time and image quality. However,huge linear systems have to be solved. We propose, as a perspective, a means of reducing the volume ofinformation involved for reconstruction. Thereby, greater image dimensions can be envisionned.Cette thèse est consacrée à la reconstruction d’image régularisée. Nous nous intéressons au casoù l’image à reconstruire est formée de zones homogènes séparées par des bords francs. C’est larégularisation avec prise en compte des discontinuités. L’image reconstruite est obtenue parminimisation d’une fonctionnelle d’énergie, ou critère.Dans un premier temps, nous proposons des conditions suffisantes pour définir un critère assurant laprise en compte des discontinuités. Nous montrons ensuite que sous ces conditions, il est possible detransformer le critère en introduisant une variable auxiliaire interagissant avec la variable principale, soitde manière additive, soit de manière multiplicative. Le rôle de la variable auxiliaire est double: marquerles discontinuités et faciliter l’optimisation du critère. Le critère augmenté est quadratique en la variableprincipale lorsqu’on fixe la variable auxiliaire et convexe par rapport à la variable auxiliaire lorsqu’onfixe la variable principale. Dans ce dernier cas, nous donnons de plus l’expression littérale de la valeuroptimale de la variable auxiliaire.Dans un second temps, nous exploitons d’un point de vue algorithmique les propriétés de cetterégularisation semi-quadratique. La stratégie d’optimisation adoptée consiste à minimiseralternativement le critère par rapport à la variable principale et par rapport à la variable auxiliaire. Cecinous conduit à deux algorithmes à introduction progressive de discontinuités : ARTUR et LEGEND.Nous proposons une étude théorique et pratique de ces algorithmes. Nous appliquons les algorithmes à lareconstruction tomographique.ARTUR et LEGEND réalisent un bon compromis entre temps de calcul et qualité d’image reconstruite.Néanmoins, ils impliquent la résolution de systèmes linéaires de grandes tailles, lourds à manipuler d’unpoint de vue informatique. Nous proposons, à titre de perspective, une technique permettant de limiter laquantité d’information nécessaire à la reconstruction et, par là même, d’envisager des dimensionsd’image plus importantes