Estimation et fluctuations de fonctionnelles de grandes matrices aléatoires

The principal objective of this thesis is : the study of the fluctuations of functionals of spectrum for large random matrices, the construction of consistent estimators and the study of their performances, in the situation where the dimension of observations is with the same order as the number of the available observations. There will be two parts in the report : the methodological contribution and the estimation in large-dimensional data. As to the methodological contribution, we will study the fluctuations for spectral linear statistics of the model ’information-plus-noise’ for analytic functionals, and the extension for non-analytic functionals. The extension is based on the interpolation between random variables and Gaussian terms. This method can be applied to empirical covariance matrices. Another part consists in the estimation of the eigenvalues of the real covariance from the empirical covariance for high dimensional data and the study of its performance. We propose a new consistent estimator and the fluctuation of the estimator will be studied . In wireless communications, this procedure permits a secondary network to ensure the presence of the available spectral resources.L’objectif principal de la thèse est : l’étude des fluctuations de fonctionnelles du spectre de grandes matrices aléatoires, la construction d’estimateurs consistants et l’étude de leurs performances, dans la situation où la dimension des observations est du même ordre que le nombre des observations disponibles. Il y aura deux grandes parties dans cette thèse. La première concerne la contribution méthodologique. Nous ferons l’étude des fluctuations pour les statistiques linéaires des valeurs propres du modèle ’information-plus-bruit’ pour des fonctionnelles analytiques, et étendrons ces résultats au cas des fonctionnelles non analytiques. Le procédé d’extension est fondé sur des méthodes d’interpolation avec des quantités gaussiennes. Ce procédé est appliqué aux grandes matrices de covariance empirique. L’autre grande partie sera consacrée à l’estimation des valeurs propres de la vraie covariance à partir d’une matrice de covariance empirique en grande dimension et l’étude de son comportement. Nous proposons un nouvel estimateur consistant et étudions ces fluctuations. En communications sans fil, cette procédure permet à un réseau secondaire d’établir la présence de ressources spectrales disponibles