Méthodes variationnelles, Domaines fictifs et conditions aux limites artificielles pour des problèmes hyperboliques linéaires. Applications aux ondes dans les solides

This manuscript describes my research on the mathematical and numerical analysis of wave propagation problems. The first chapter is devoted to numerical methods for the propagation or the diffraction of elastic waves in solids : (i) retarded potentials in homogeneous isotropic media, (ii) tomography for seismic imaging, (iii) paraxial equations, (iv) mixed finite elements for elastodynamics. This last point, the most detailed here, is part of a general strategy to design an efficient numerical method which can deal with complex media (anisotropic, heterogeneous) including obstacles of arbitrary shape. It has been developed in the idea of using the fictitious domain method presented in the second chapter. After a short description of the method for a model scalar problem, it is first presented for the diffraction of elastic waves by a crack modeled either with a free surface boundary condition or with a unilateral contact boundary condition, and then for a problem of musical acoustics (modelization of the guitar). The third chapter is concerned with the question of artificial boundary conditions to bound the computational domain. Methods of Perfectly Matched Layers (PML) are analyzed for transient problems (electromagnetism, acoustics, elastodynamics, general first order hyperbolic systems) and for a time harmonic problem of aeroacoustics in an infinite waveguide. The manuscript ends with a brief review of the work in progress and on new perspectives.Ce mémoire décrit mes travaux de recherche sur l'analyse mathématique et numérique de problèmes de propagation d'ondes. Le premier chapitre est consacré à des méthodes numériques pour la propagation ou la diffraction d'ondes élastiques dans des solides : (i) potentiels retardés dans des milieux élastiques homogènes isotropes, (ii) méthodes d'imagerie sismique par tomographie, (iii) équations paraxiales, (iv) éléments finis mixtes pour l'élasto-dynamique. Ce dernier point, (iv), le plus détaillé ici, s'inscrit dans une stratégie générale pour obtenir une méthode numérique performante pouvant traiter des milieux complexes (anisotropes, hétérogènes) avec des obstacles de géométrie quelconque. Il a été développé dans l'optique d'utiliser la méthode des domaines fictifs qui fait l'objet du deuxième chapitre. Après une description de cette méthode sur un problème modèle scalaire, elle est présentée tout d'abord pour un problème de diffraction d'ondes élastiques par une fissure modélisée soit par une condition de surface libre soit par une condition de contact unilatéral, puis pour un problème d'acoustique musicale (modélisation de la guitare). Le troisième chapitre traite de questions de conditions aux limites artificielles utilisées pour borner le domaine de calcul. Des méthodes de couches absorbantes parfaitement adaptées (PML) sont analysées pour des problèmes transitoires (électromagnétisme, acoustique, élasto-dynamique, système hyperbolique général du premier ordre) puis pour un problème d'acoustique en écoulement en régime harmonique. Le mémoire se termine par un point sur les travaux en cours et des perspectives ouvertes par ces travaux