Méthodes non-perturbatives en théorie quantique des champs. Au-delà du champ moyen, l'approximation de la phase aléatoire.

Hadronic physics in field theory is a difficult subject and a field of active research. The problem is highly non-perturbative because one cannot use a perturbative development of QCD in the low energy sector. The equivalence between field theory and many-body problem leads us to apply well-known non-perturbative many-body techniques like the mean-field approximation (or Gaussian approximation) and the random phase approximation (RPA). Beyond the mean-field where the only correlations incorporated in the calculations are those between one particle and a "mean-field" potential, the RPA take into account correlations between particles. To set up the formalism, we apply different types of RPA (namely standard, renormalized and with the Dyson equations approach) to one of the more simple quantum field theory with interaction, the lambda x phi^4 scalar theory. We show that a phase transition occurs, due to a dynamical symmetry breaking. The critical parameter is close to other results obtained by lattice calculations or cluster techniques. We compute also finite temperature results in mean-field approximation. We study also a realistic effective model for the chiral phase transition, the linear-sigma model. The Goldstone theorem is restored, to the contrary to the Gaussian approximation. Finally we go beyond renormalized RPA correlations in the anharmonic oscillator case and show that the first RPA correlations are sufficient to improve greatly thc mean-field calculations.L'étude de problèmes de physique hadronique dans le cadre de la théorie des champs nécessite l'emploi de méthodes non-perturbatives, les approches perturbatives ne pouvant s'appliquer pour QCD à basse énergie. L'équivalence formelle existant entre la théorie des champs et le problème à N corps nous a conduit à adapter des techniques non-perturbatives usuelles de la théorie du problème à N corps, comme l'approximation de champ moyen (ou approximation gaussienne) et l'approximation de la phase aléatoire (RPA). En se plaçant au-delà du champ moyen où seules sont prises en compte les corrélations entre une particule et un potentiel "moyen" à un corps, la RPA va permettre de rajouter dans le calcul de l'état fondamental des corrélations entre particules. Afin de mettre en place le formalisme, on applique la RPA, sons différentes formes (standard, renormalisée, en termes de fonctions de Green), à l'une des plus simples théories des champs en interaction, la théorie scalaire lambda x phi^4. On montre qu'il se produit une transition de phase due à une brisure dynamique de symétrie dont le paramètre critique se rapproche des résultats obtenus sur réseaux et par la technique des "clusters". Les résultats sont aussi présentés à température finie pour le champ moyen. On étudie également un modèle effectif réaliste de la transition de phase chirale, le modèle sigma-linéaire et on montre que le théorème de Goldstone est restauré, contrairement à l'approximation gaussienne. Enfin pour éclaircir quelques points de la RPA et, aller au-delà des corrélations obtenues dans la forme renormalisée, on considère l'oscillateur anharmonique en mécanique quantique, en introduisant les corrélations minimales au-delà du champ moyen et on montre que les corrélations RPA améliorent grandement le résultat obtenu en champ moyen