Décomposition Asymptotique et éléments finis

Cette thèse est consacrée à l\u27analyse numérique et à la simulation par éléments finis de problèmes de décomposition asymptotique. Il s\u27agit de problèmes d\u27équations aux dérivées partielles pour lesquels on a intégré une information de comportement des solutions sur une partie du domaine. Cette information est utilisée pour améliorer l\u27efficacité des méthodes numériques. Ceci engendre des fonctions de base globales (éléments finis) particulières : les fonctions de "super-éléments". On traite de cette manière un problème de perturbation singulière monodimensionnel et l\u27équation de Poisson %sur un domaine hybride en partie monodimensionnel, en partie bidimensionnel. On étudie aussi le couplage de %tels domaines hybride. Dans un premier et très court chapitre, nous introduisons la MAPDD, Méthode de Décomposition Asymptotique Partielle de Domaine. Dans un deuxième et troisième chapitre, on applique et justifie au moyen de développements asymptotiques cette méthodologie pour un problème de perturbation singulière monodimensionnel dont l\u27origine se situe en théorie des coques et pour l\u27équation de Poisson sur un domaine fin. On propose une méthode d\u27éléments finis efficace qui permet une grande économie de noeuds. Des estimations d\u27erreur optimales sont obtenues, de qualité équivalente à celles d\u27une méthode d\u27éléments finis classique. Dans un quatrième chapitre, on s\u27intéresse au couplage de problèmes en partie monodimensionnels et bidimensionnels pour l\u27exemple de l\u27équation de Poisson. On déconnecte les domaines et on les recolle via un multiplicateur de Lagrange dans un problème de point-selle. On obtient des estimations d\u27erreur pour l\u27approximation par éléments finis de ce problème. On montre que cette approche généralise la méthode d\u27éléments finis avec des super-éléments. Dans un cinquième chapitre, prospectif, on s\u27intéresse au traitement numérique de deux problèmes que l\u27on trouve dans la littérature. Un problème de joint-colle, et un problème de transport sous forme de moindre carré. On propose une modélisation 2D-1D