Cap a un model bidimensional de piezoelectricitat superficial

We want to understand the behaviour of flexoelectricity and surface piezoelectricity and distinguish them in order to go deep into the controversies of the filed. This motivate the construction of a model of continuum flexoelectric theory. The model proposed is a two-dimensional model that integrates the electromechanical equations that include the elastic, dielectric, piezoelectric and flexoelectric effect on a rectangular sample. As the flexoelectric and the surface piezoelectric effects appear on thin films (at the nanoscale) it requires a rich continuum model based on strain gradient elasticity too (we have to consider a second order effect). The high-order partial differential equations of electromechanics can't be solved with standard finite elements because of the second order effects included. Therefore, method should consists in using a galerkin method with smooth shape functions based on B-Splines. As a first step to understand the surface piezoelectricity we implement the mechanical part of our model,i.e., considering the elastic effect term and the gradient elasticity term. In order to do that we encode from zero the numerical method using MATLAB. We arrive to a very important result about the elastical behaviour of a beam (sample): the size effect of cantilever beam beanding. This result, that is known, will validates the development of our flexoelectriciy model and the correct realization of the numerical method involved.Queremos entender el comportamiento de la flexoelectricidad y de la piezoelectricidad superficial y distinguirlos con el fin de profundizar en las controversias de este campo. Esto motiva la construcción de un modelo de la teoría flexoeléctrica continua. El modelo propuesto es un modelo de dos dimensiones que integra las ecuaciones electromecánicas que incluyen el efecto elástico, dieléctrico, piezoeléctrico y el efecto flexoeléctrico en una muestra rectangular. Debido a que el efecto flexoeléctrico y el efecto piezoeléctrico superficial aparecen en películas delgadas (a escala nanométrica) se requiere un modelo continuo rico basado en la contribución del gradiente de deformación elástica (tenemos que considerar un efecto de segundo orden). Las ecuaciones diferenciales parciales de la electromecánica de mayor orden no pueden ser resueltas con elementos finitos estándar debido a los efectos de segundo orden incluidos. Por lo tanto, el método consistirá en el uso de un método de Galerkin con funciones suaves como las funciones base B-Splines. Como primer paso para entender la piezoelectricidad superficial resolvemos la parte mecánica de nuestro modelo, es decir, tenemos en cuenta el término de efecto elástico y el término de gradiente elástico. Para ese fin resolvemos nuestro problema numéricamente desde zero con Matlab. Llegamos a un resultado muy importante sobre el comportamiento de una viga elastical (muestra): el efecto de tamaño de un viga en voladizo. Este resultado, que se conoce, valida el desarrollo de nuestro modelo flexoeléctrico y la correcta realización del método numérico en cuestión.Volem entendre el comportament de la flexoelectricitat i de la piezoelectricitat superficial i distingir-los per tal d'aprofundir en les controvèrsies d'aquest camp. Això motiva la construcció d'un model de la teoria flexoeléctrica contínua. El model proposat és un model de dues dimensions que integra les equacions electromecàniques que inclouen l'efecte elàstic, dielèctric, piezoelèctric i l'efecte flexoelèctric en una mostra rectangular. A causa de que l'efecte flexoelèctric i l'efecte piezoelèctric superficial apareixen en pel·lícules primes (a escala nanomètrica) es requereix un model continu ric basat en la contribució del gradient de deformació elàstica (hem de considerar un efecte de segon ordre). Les equacions diferencials parcials de la electromecànica de major ordre no poden ser resoltes amb elements finits estàndard a causa dels efectes de segon ordre inclosos. Per tant, el mètode consistirà en l'ús d'un mètode de Galerkin amb funcions suaus com les funcions base B-Splines. Com a primer pas per entendre la piezoelectricitat superficial resolem la part mecànica del nostre model, és a dir, tenim en compte el terme d'efecte elàstic i el terme de gradient elàstic. Per a aquesta fi resolem el nostre problema numèricament des de zero amb Matlab. Arribem a un resultat molt important sobre el comportament d'una biga elàstica (mostra): l'efecte de tamany d'un biga en voladís. Aquest resultat, que es coneix, valida el desenvolupament del nostre model flexoelèctric i la correcta realització del mètode numèric en qüestió