Un ejemplo de teoría de homotopia en los grupos abelianos

Para un anillo conmutativo con unidad R, en la categoría de los grupos abelianos hemos desarrollado una nueva teoría de homotopía. La categoría de homotopía de esta teoría tiene la siguiente propiedad: Si un grupo abeliano A admite la estructura de R-módulo, entonces A tiene el tipo de homotopía del grupo abeliano nulo. Como consequencia de este hecho, esta teoría aporta una nueva técnica para analizar la obstrucción que un grupo abeliano presenta a admitir una estructura de R-módulo. Esta memoría contiene un detallado estudio de los análogos de los grupos de homotopía para este contexto y la construcción de sucesiones homotópicas asociadas a un homomorfismo de grupos abelianos. También se han analizado las teorías asociadas a algunos anillos, por ejemplo, para el anillo de los racionales, Q, se tiene la siguiente versión del teorema de Whitehead: Un grupo abeliano A tiene la estructura de Q-módulo (A es contractible) si y sólo si A tiene sus grupos de homotopía triviales.For a commutative unitary ring R, we have developed a new homotopy theory in the category of abelian groups. The homotopy category of this theory has the following property: if an abelian group A admits the structrure of an R-module, then A has the homotopy type of the zero abelian group. As a consequence of this fact, this theory is a useful tool to analyze the obstruction of an abelian group to be an R-module. This work contains a detailed study of the analogues of homotopy groups and the construction of homotopy sequences associated to a homomorphism of abelian groups. We have also analyzed the theories associated to some particular rings, for example, for the ring of rational numbers, Q, we have the following version of the Whitehead theorem: An abelian group A has the structure of a Q-module ( A is contractible) if and only if A has trivial homotopy groups