Computed basis functions for nonconforming voxel finite element methods in electromagnetics

The nonconforming voxel finite element method (NVFEM) avoids many of the difficulties of traditional mesh generation by using a nested grid of cubic finite elements. Its main drawback is the need to approximate boundaries that would otherwise pass through the interior of the elements, resulting in loss of accuracy and slow convergence. In this thesis, a technique called the computed basis function (CBF) method is applied, that permits material discontinuities within the elements. In CBF-NVFEM, a local, temporary mesh of cubic sub-elements is superimposed on each nonuniform element. The local mesh is used to compute the CBFs for the element by solving a small boundary value problem, taking into account the material interfaces. Then the CBFs replace the standard basis functions of the element. CBF-NVFEM can greatly reduce the total number of unknowns that are needed to achieve a given accuracy, with no reduction in the sparsity of the global finite element matrix. The additional cost of CBF-NVFEM over regular NVFEM is a cost of matrix assembly, which scales linearly with the number of elements. Since the cost of matrix solution grows faster than linearly, the reduction in matrix size provided by CBF-NVFEM outweighs this additional cost for large problems.CBF-NVFEM is applied to a variety of static and time-harmonic, scalar and vector field problems in 2D and 3D, involving magnetic, dielectric or perfectly conducting materials. Results show that CBF-NVFEM works correctly and, compared to NVFEM, usually gives a substantial reduction in the total computational cost needed to achieve the same accuracy. In determining the radar cross-section (RCS) of 3D targets, CBF-NVFEM requires up to 9 times fewer unknowns than NVFEM and is up to 17 times faster. Moreover, the RCS examples show that CBF-NVFEM achieves good accuracy with an element size that is what one would expect to use in traditional FEM.La méthode des éléments finis de voxel non conforme (NVFEM ou Nonconforming Voxel Finite-Element Method) permet d'éviter un grand nombre des difficultés de maillage traditionnel en utilisant un réseau imbriqué d'éléments finis cubiques. Son principal inconvénient est la nécessité de rapprocher les limites qui, autrement, passeraient à travers l'intérieur des éléments, ce qui entraîne une perte de précision et une convergence lente. Dans cette thèse, une technique appelée la méthode de fonction de base calculée (CBF ou computed basis function) est appliquée, ce qui permet les discontinuités de matériel dans les éléments. Dans la CBF-NVFEM, une maille temporaire locale de sous-éléments cubiques se superpose sur chaque élément non uniforme. La maille locale est utilisée pour calculer les CBF pour l'élément en résolvant un problème de petite valeur limite, en tenant compte des interfaces matérielles. Puis les CBF remplacent les fonctions de base standards de l'élément. Le CBF-NVFEM peut réduire considérablement le nombre total d'inconnues qui sont nécessaires pour obtenir une précision donnée, sans réduction de la rareté de la matrice des éléments finis globaux. Le coût supplémentaire du CBF-NVFEM sur le NVFEM régulier est un coût d'assemblage de la matrice, qui varie linéairement avec le nombre d'éléments. Comme le coût de la solution de la matrice augmente plus vite que linéairement, la réduction de la taille de la matrice fournie par le CBF-NVFEM l'emporte sur ce coût supplémentaire pour les grands problèmes. Le CBF-NVFEM est appliqué à une variété de problèmes statiques et temps-harmoniques, scalaires et de champs vectoriels en 2D et 3D, impliquant des matériaux magnétiques, diélectriques ou parfaitement conducteurs. Les résultats montrent que le CBF-NVFEM fonctionne correctement, et lorsqu'on le compare au NVFEM, donne généralement une réduction substantielle du coût de calcul total nécessaire pour obtenir la même précision. En déterminant la section efficace en radar (RCS ou radar cross-section) de cibles 3D, le CBF-NVFEM nécessite jusqu'à 9 fois moins d'inconnues que le NVFEM et est jusqu'à 17 fois plus rapide. En outre, les exemples de RCS montrent que le CBF-NVFEM réalise une bonne précision avec une taille d'élément qui est ce qu'on pourrait s'attendre à utiliser dans la méthode des éléments finis (FEM) traditionnelle