Construction methods of CSS quantum codes and relationships between quantum codes and matroids

Resumo: Como principais contribuições desta tese, apresentamos novos métodos de construção que geram novas famílias de códigos quânticos CSS. As construções são baseadas em códigos cíclicos (clássicos) BCH, Reed-Solomon, Reed-Muller, Resíduos quadráticos e também nos códigos derivados do produto tensorial de dois códigos Reed-Solomon. Os principais códigos quânticos construídos neste trabalho, em termos de parâmetros, são os derivados dos códigos BCH clássicos. Além disso, estudamos as condições necessárias para analisar as situações nas quais os códigos cíclicos quânticos (clássicos) são códigos MDS (do inglês, Maximum- Distance-Separable codes). Apresentamos, também, novas conexões entre a teoria de matróides e a teoria dos códigos quânticos CSS, que acreditamos serem as primeiras conexões entre tais teorias. Mais especificamente, demonstramos que a função enumeradora de pesos de um código quântico CSS é uma avaliação do polinômio de Tutte da soma direta dos matróides originados a partir dos códigos clássicos utilizados na construção CSSAbstract: This thesis proposes, as the main contributions, constructions method of new families of quantum CSS codes. These constructions are based on classical cyclic codes of the types BCH, Reed-Solomon, Reed-Muller, Quadratic Residue and also are based on product codes of classical Reed-Solomon codes. The main family of quantum codes constructed in this work, i. e., quantum codes having better parameters, are the ones derived from classical BCH codes. Moreover, we present some new conditions in which quantum CSS cyclic codes are quantumMDS codes. In addition, we provide the elements to connect matroid theory and quantum coding theory. More specifically, we show that the weight enumerator of a CSS quantum code is equivalent to evaluating the Tutte polynomial of the direct sum of the matroid associated to the classical codes used in the CSS constructio